Resultados geométricos derivados de que las secciones de un haz sean un módulo

Question

Supongamos que $\pi:E\to B$ es un paquete suave. Su conjunto de secciones $\Gamma(E)$ es un $C^\infty(B)$ módulo. ¿Existen hechos geométricos interesantes que se deriven principalmente de la estructura algebraica de un $C^\infty(B)$ ¿módulo? En otras palabras, ¿existen teoremas algebraicos sobre los módulos que ofrezcan información geométrica sobre el haz?

Answer 1

De hecho, ¡puedes conseguir cosas muy potentes con esta estructura de módulos! Supongamos que $M$ es compacta y elegimos una métrica riemmaniana sobre $M$ , $g$ . Tomando una cobertura finita de $M$ tal que el haz es trivial, podemos extender las secciones dada esta cobertura por una parción de la unidad. Esto da en inyección $f:\mathbb{R}^n\times M\to E$ . Ahora tenemos una secuencia exacta de paquetes vectoriales $0\to ker(f)\to \mathbb{R}^n\times M\to E\to 0$ y podemos tomar la proyección de $\mathbb{R}^n\times M$ en $ker(f)$ dado por $g$ para dividir esta secuencia. Entonces tenemos que $$\Gamma(E)\oplus \Gamma(F)=\Gamma(E\oplus F)=\Gamma(\mathbb{R}^n\times M)=C^{\infty}(M)^n$$ Así, $\Gamma(E)$ es un proyectivo finitamente generado $C^{\infty}(M)$ -¡Módulo! Esto significa que nuestro paquete define de hecho un elemento en $K_0(C^{\infty}(M))$ ¡! De hecho, esta fue la inspiración para que Atiyah introdujera el $K$ -teoría. Sobre todo porque podemos definir un mapa $K_0(C^{\infty}(M))\to \{\mathrm{Vector bundles on }M\}/\{\mathrm{Stable isomorphisms}\}$ es de hecho un ismorfismo, lo que significa que los isomorfismos del haz están casi totalmente determinados por la estructura algebraica de este módulo. Este hecho se conoce como teorema de Swans.