Rango del producto de dos matrices ortogonales

Question

Para $U,V\in\mathbb{R}^{n\times r}$ donde cada columna $u_i$ cumple con lo siguiente $u_i^Tu_j=0,j\ne i, u_i^Tu_i=1,\forall i=1,...,r$ . Así es $v_i$ . Supongamos que tenemos $$\Vert UU^T-VV^T \Vert<1$$ Mi pregunta es cómo demostrar lo siguiente: $$U^TV\text{ is full rank.}$$ Gracias.

Answer 1

Podemos mostrar lo siguiente:

$U^TV$ es deficiente en cuanto al rango $\implies$ $\rho(UU^T-VV^T)\geq 1$ ,

donde $\rho$ es el radio espectral de una matriz.

Desde $UU^T-VV^T$ es simétrica, los valores propios de esta matriz son reales y para cualquier matriz simétrica $X$ tenemos $\rho^2(X)=\rho(X^2)$ . Podemos ampliar $$\tag{1} (UU^T-VV^T)^2=UU^T+VV^T-U(U^TV)V^T-V(V^TU)U^T $$ y ver el $U^TV$ términos para salir. Desde $U^TV$ es de rango deficiente, existe un vector no nulo $x$ tal que $U^TVx=0$ . Podemos expresar este vector como una combinación de filas de $V$ Es decir, $x=V^Ty$ para algunos (no cero) $y$ . Podemos elegir $x$ y $y$ tal que $y^Ty=1$ . Tomamos esta $y$ y calcular el cociente de Rayleigh asociado de la matriz cuadrada en (1) y ver que $$ \begin{split} \rho^2(UU^T-VV^T) &\geq y^T(UU^T-VV^T)^2y \\&= y^TUU^Ty+x^Tx-y^TU(U^TVx)-(U^TVx)^TU^Ty \\&= y^TUU^Ty+x^Tx\geq x^Tx. \end{split} $$ Así que si $x^Tx\geq 1$ hemos terminado. De hecho, tenemos $$ 1=y^Ty=y^T(I-VV^T)y+y^TVV^Ty\leq y^TVV^Ty=x^Tx. $$ Por lo tanto, $\rho(UU^T-VV^T)\geq 1$ .

Mostramos el siguiente enunciado equivalente:

$\rho(UU^T-VV^T)<1$ $\implies$ $U^TV$ no es deficiente en cuanto al rango.

Cualquier norma matricial $\|\cdot\|$ consistente con alguna norma vectorial es un límite superior en $\rho$ por lo que también tenemos

$\|UU^T-VV^T\|<1$ $\implies$ $\rho(UU^T-VV^T)<1$ $\implies$ $U^TV$ no es deficiente en cuanto al rango.

Answer 2

Dejemos que $A=U^TV$ . Como $U$ tiene columnas ortonormales, $UU^T$ es una proyección ortogonal. Por lo tanto, \begin{aligned} \|UU^T-UAA^TU^T\|_2 &=\|UU^T(UU^T-VV^T)UU^T\|_2\\ &\le\|UU^T-VV^T\|_2\|UU^T\|_2^2\\ &=\|UU^T-VV^T\|_2\\ &=\rho(UU^T-VV^T)\\ &\le\|UU^T-VV^T\|<1. \end{aligned} (Obsérvese que hemos utilizado tanto el $2$ -norma $\|\cdot\|_2$ y la norma dada $\|\cdot\|$ arriba).

Ahora supongamos lo contrario, que $A$ es singular. Entonces $A^T$ es singular y $A^Tx=0$ para algún vector no nulo $x$ . Desde $U$ tiene rango de columna completo, $Ux\ne0$ . Así, $\|(UU^T-UAA^TU^T)Ux\|_2=\|Ux\|_2\ne0$ , lo cual es una contradicción con $\|UU^T-UAA^TU^T\|_2<1$ . Por lo tanto, $A=U^TV$ debe ser no singular.