Prueba de que un grupo abeliano finito tiene un subgrupo de orden $n$ por cada $n$ que divide $|G|$

Question

Según el título, estoy tratando de demostrar que un grupo abeliano finito tiene un subgrupo de orden $n$ por cada $n$ que divide $|G|$ Y creo que tengo una solución, pero me gustaría que alguien verificara que esto es correcto.

Prueba: Tome un grupo $G$ que es finito y abeliano. Supongamos que para nuestro resultado deseado es válido para todos los grupos abelianos de orden inferior a $|G|$ . Tome cualquier primo $p$ tal que $|G| = p^{\alpha}m$ donde $p$ no divide $m$ , de modo que por el Teorema 12, $G$ tiene un subgrupo de orden $p^{\alpha}$ que denotamos $H$ . Por nuestra hipótesis inductiva, $H$ tiene subgrupos de orden $p^{\alpha - 1}, p^{\alpha - 2}, \ldots, p^2, p$ . Entonces, toma la factorización en primo de cualquier número entero $n$ para lo cual $|G|$ divide $n$ , digamos que $n = x_1^{y_1}x_2^{y_2}\ldots x_z^{y_z}$ donde $y_1,\ldots,y_z$ son primos que dividen a $|G|$ .

Para cualquiera de estos factores, digamos $x_a^{y_a}$ y $x_b^{y_b}$ recordamos que hay subgrupos en $G$ con un orden igual a cada uno de estos términos, digamos $A$ y $B$ . Por el Teorema de Lagrange, todos los elementos no identitarios en $A$ tienen un orden divisible por $x_a$ y lo mismo puede decirse de los elementos de $B$ . Desde $x_a \neq x_b$ y ambos son primos, vemos que $A \cap B = \{1\}$ . Por la Proposición 13, tenemos $|AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|} = \frac{x_a^{y_a}x_b^{y_b}}{1} = x_a^{y_a}x_b^{y_b}$ y como $G$ es un grupo abeliano, la proposición 14 afirma que $AB$ es un subgrupo.

Aplicando el resultado anterior a toda la factorización de primos de $n$ Por lo tanto, construimos un subgrupo de $G$ que tiene orden $n$ y hemos terminado. Tampoco hemos utilizado nunca el Teorema de Cauchy, ¿verdad?

Teorema 12 es de Sylow y dice que si $G$ es un grupo finito de orden $p^{\alpha}m$ donde $p$ es un primo y $p$ no divide $m$ entonces $G$ tiene un subgrupo de orden $p^{\alpha}$ .

Propuesta 13 dice que si $H$ y $K$ son subgrupos finitos de un grupo entonces $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}$ .

Propuesta 14 dice que si $H$ y $K$ son subgrupos de un grupo, $HK$ es un subgrupo si y sólo si $HK = KH$ .

Mis razones para publicar esto son dos: en primer lugar, no he encontrado una prueba de este tipo en Internet, por lo que me temo que me he equivocado en alguna parte. La segunda razón es que Dummit y Foote piden que se utilice el Teorema de Cauchy en la demostración, cosa que no he hecho, y agradecería mucho que me indicaran una demostración que sí utilice el Teorema de Cauchy. Muchas gracias.

Answer 1

Hay una laguna en su argumento. Usted ha $|G|=p^am$ con $\gcd(p,m)=1$ y usted toma $H$ sea un subgrupo de orden $p^a$ . Bien. Entonces sólo suponga que que $|H|\lt |G|$ para poder aplicar la hipótesis de inducción.

Sin embargo, no se sabe con certeza que esto ocurra. ¿Y si $G$ es un $p$ -de modo que $|G|=p^a$ y así $H=G$ ? Todavía tiene que tratar el caso de un $p$ -grupo: hay que demostrar que si $G$ es un grupo abeliano de orden $p^n$ , $p$ primo, y $n\geq 1$ entonces contiene un subgrupo $H$ de orden $p^a$ para todos $a$ , $0\leq a\leq n$ .

Y supongo que tendrás que usar el Teorema de Cauchy para hacerlo (si quieres hacer inducción sobre $n$ , digamos...).

Answer 2

Esto parece estar bien. Es básicamente una estrategia de "divide y vencerás" muy común en la teoría de los números. Básicamente muestras un lema:

Si un grupo abeliano finito $G$ contiene subgrupos de orden $n$ y $m$ con $n$ y $m$ coprima, entonces $G$ contiene un subgrupo de orden $nm$ .

Esto y el Teorema 12 muestran su resultado básicamente de forma inmediata.

No veo cómo demostrar esto usando el teorema de Cauchy.