Factorización $t^{q^r}-t$ sobre el campo finito $\mathbb{F}_q$

Question

Esta podría ser una pregunta de muy corta duración.

Dejemos que $F$ sea un campo finito de orden $q$ ( $q$ es una potencia primera). Es bien sabido que el polinomio $$t^{q^d}-t$$ es el producto de todos los polinomios irreducibles sobre $F$ de grado $r$ donde $r$ divide $d$ .

Mi pregunta es ¿por qué es esto? Sé que esto es básico, pero aún así, cada vez que intento buscar esto en Internet, me salen las respuestas sobre la factorización de polinomios arbitrarios donde esto sólo se menciona como un hecho conocido. No he tenido suerte en encontrar la respuesta a mi pregunta.

Entiendo que si consideramos un campo de extensión $E/F$ avec $q^d$ elementos entonces este polinomio factores en factores lineales. Me he dado cuenta de que $t^{q^r}-1$ divide $t^{q^d}-1$ si $r$ divide $d$ . ¿Qué ideas me faltan para entender el enunciado por el que pregunto?

Answer 1

La versión general de su observación hacia el final es que $t^\ell - 1 \mid t^m - 1$ si y sólo si $\ell \mid m$ Esto es útil (y se deduce esencialmente del algoritmo de la división). Nótese que esta divisibilidad es cierta si evaluamos también los polinomios.

Con esto en la mano: Dejemos que $f(t) \in F[t]$ sea un polinomio irreducible de grado $r$ . Entonces $r \mid d$ si y sólo si $f(t) \mid t^{q^d} - t$ .

Prueba. Los delanteros, asumen $r \mid d$ . Entonces $q^r - 1 \mid q^d - 1$ Así que $t^{q^r - 1} - 1 \mid t^{q^d - 1} - 1$ . Multiplicar por $t$ y tenemos $t^{q^r} - t \mid t^{q^d} - t$ . Ahora bien, desde $f(t) \in F[t]$ es irreducible de grado $r$ si dejamos que $\alpha \in \bar{F}$ sea una raíz de $f(t)$ tenemos $[F(\alpha) : F] = r$ , haciendo que $| F(\alpha) | = q^r$ y $F(\alpha)$ es el campo de división de $t^{q^r} - t$ en $F$ por la unicidad de los campos finitos. Por lo tanto, $\alpha$ también es una raíz de $t^{q^r} - t$ Así que $f(t) \mid t^{q^r} - t \mid t^{q^d} - t$ .

A la inversa, supongamos que $f(t) \mid t^{q^d} - t$ avec $f(t)$ irreducible de grado $r$ . Nuevamente dejemos $\alpha \in \bar F$ sea una raíz de $f(t)$ para que $f(t) \mid t^{q^d} - t$ implica $F(\alpha) \subset E$ donde $E$ es el campo de división de $t^{q^d} - t$ (así $|E| = q^d$ ). Entonces $$ d = [E : F] = [E : F(\alpha)] \cdot [F(\alpha) : F] = [E : F(\alpha)] \cdot r, $$ lo que significa que $r \mid d$ .