¿Es necesario estudiar los sistemas Coxeter (W,S) con S infinito?

Question

En su tratado Grupos y algebras de Lie Bourbaki (sin duda muy influenciado por Tits) dedicó el capítulo IV (1968) a la teoría general de lo que llamaron "sistemas de Coxeter" $(W,S)$ junto con los "sistemas Tits" (pares BN). Aquí $S$ es un conjunto arbitrario y $W$ un grupo generado por un subconjunto $S$ formado por elementos de orden 2, sujeto sólo a las relaciones obvias que implican pares de generadores. Se trata de una clase muy grande de grupos, normalmente infinitos, que incluye los grupos de reflexión finitos y otros de interés en la teoría de Lie. El desarrollo axiomático de IV.1 no requiere ninguna restricción en el rango del grupo: la cardinalidad de $S$ .

Por otro lado, no parece haber casi ningún ejemplo significativo en el que el rango sea infinito. Como señalan Bjorner y Brenti en su libro Combinatoria de los grupos de Coxeter , después de definir los grupos de Coxeter: "La mayoría de los grupos de interés tendrán un rango finito". Los ejemplos típicos dados por ellos y otros incluyen el grupo de permutaciones de los enteros positivos que dejan fijos todos los números excepto los finitos; éste es un límite directo de los grupos simétricos finitos (y se engloba en el mucho más grande "grupo simétrico infinito"). Pero aunque la teoría general se aplica a todos los rangos, me resulta difícil pensar en algo realmente nuevo que se aprenda sobre los grupos de Coxeter de rango infinito utilizando la teoría de Coxeter. Quizá no he buscado lo suficiente, pero es natural preguntar:

¿Hay resultados significativos sobre los grupos de Coxeter de rango infinito que no se obtengan con la misma facilidad sin la teoría de Coxeter?

Answer 1

El siguiente teorema fue demostrado independientemente por Deodhar y por Dyer :

Dejemos que $(W, S)$ sea un grupo Coxeter. Sea $V$ sea un subgrupo de $W$ generado por las reflexiones. Entonces hay un conjunto $R$ de los reflejos en $V$ para que $(V, R)$ es un grupo Coxeter. $R$ se puede caracterizar de forma única como sigue: Sea $T$ sea el conjunto de reflexiones en $W$ y, para $w \in W$ , dejemos que $in(w)$ sea el conjunto de inversiones de $w$ . Un elemento $t \in T$ se encuentra en $R$ si y sólo si $in(t) \cap V = \{ t \}$ .

Incluso cuando $S$ es finito, $R$ ¡puede ser infinito! Si no he metido la pata, un ejemplo es tomar $W$ para ser el grupo Coxeter sobre generadores $p$ , $q$ , $r$ sin más relaciones que $p^2=q^2=r^2=e$ . Sea $V$ sea el subgrupo generado por $$\cdots, qpqprpqpq, qpqrqpq, qprpq, qrq, r, prp, pqrqp, pqprpqp, pqpqrqpqp, \cdots.$$ Si no he metido la pata, $V$ es un subgrupo de rango infinito de $W$ con el conjunto $R$ siendo la lista de generadores anterior.

Dado que estos dos artículos tienen 86 citas en Mathscinet entre ellos, yo diría que este resultado es útil.

Answer 2

Esto no responde precisamente a tu pregunta, pero siempre que veo o escribo un resultado sobre los grupos de Coxeter, me pregunto si se extiende a un rango infinito. En algunos casos, los resultados sobre el rango infinito se desprenden formalmente del estudio en el rango finito, por ejemplo, la existencia de un cierto tipo de subgrupos generados finitamente, o la existencia de algunas acciones agradables (por ejemplo, en complejos cúbicos no positivamente curvados), etc., pero, por lo general, al contrario, los resultados que afirman la existencia de "muchos" coxeteres no se extienden al rango infinito, lo que merece un estudio específico (aunque este estudio específico debería basarse en las técnicas que funcionan en el rango finito).

Ejemplo de una pregunta natural: dado un grupo Coxeter (digamos contable), ¿cuántos (según su diagrama) subgrupos normales tiene: finitos, infinitos contables o continuos? (no puede ser de otra manera por topología básica) La respuesta es conocida en el caso f.g.: es a lo sumo contable si todos los componentes son afines/finitos (Gonciulea, Margulis-Vinberg) y finito si el grupo Coxeter es finito (esencialmente obvio). En el caso de generación infinita, ¿cuándo es residualmente finito?

Perdón por la autopublicidad; aquí hay unos cuantos artículos en los que evoco el rango infinito de Coxeter. En este papel con Stalder y Valette, consideramos grupos Coxeter con corona que son análogos a los productos de corona, basados en una acción de grupo sobre un grafo de Coxeter (normalmente infinito) (Ejemplo 5.5). La terminología es de este con Bieri, Guyot, Strebel (véase especialmente el ejemplo 4.10), donde los mismos grupos se utilizan como ilustración para fines completamente diferentes. En este antiguo nota inédita Me dirijo a la simplicidad de su $C^*$ -utilizando una reducción al caso f.g.

Answer 3

Tampoco creo que esto responda a su pregunta directa, pero aun así vale la pena mencionarlo. El siguiente hecho me fue explicado por una combinación de Lusztig y Geordie Williamson, y motiva por qué uno debe estudiar (las terminaciones de) grupos de Coxeter simplemente enlazados $(W',S')$ con $S'$ infinito.

Hay una celda única de dos caras $C$ en cualquier grupo Coxeter $(W,S)$ que consiste en todos los elementos no identitarios con una única expresión reducida. Cualquier elemento de este tipo tiene un único reflejo simple en su conjunto descendente derecho (o izquierdo). Dentro de esta celda, las celdas de la izquierda $C_s$ están parametrizados por $s \in S$ y consiste en todos los elementos con una única expresión reducida y con un conjunto descendente correcto $\{s\}$ .

Se pueden tomar los elementos de $C_s$ y darles la estructura de un gráfico, donde $w$ está conectado a $v$ si $w = tv$ para algunos $t \in S$ . Cada vértice puede etiquetarse con el único elemento de su conjunto descendente izquierdo. El gráfico etiquetado resultante no depende de la elección de $s$ .

Se puede ver este gráfico como la codificación de un grupo de Coxeter de encaje simple $(W',S')$ . Supongamos que $S'$ es finito. Para cada $t \in S$ las reflexiones etiquetadas por $t$ se conmutan mutuamente, y su producto es una involución en $W'$ . Juntas, estas involuciones generan un subgrupo dentro de $W'$ que es isomorfo al grupo Coxeter original $W$ . De este modo, cualquier grupo Coxeter finito está canónicamente embebido dentro de uno de lazo simple. Cualquier elemento Coxeter de $W$ se envía a un elemento Coxeter de $W'$ .

Por ejemplo, esta operación producirá la incrustación de $H_4$ dentro de $E_8$ . Producirá la incrustación de un grupo diédrico finito $I_2(m)$ en $A_{m-1}$ enviando cada reflexión simple en $I_2(m)$ a un producto de cualquier otra reflexión simple en $A_{m-1}$ .

Sin embargo, puede ocurrir que $S'$ es infinito, y que la colección de vértices etiquetados por $t \in S$ también es infinito. En este caso, no se tiene una incrustación de $W$ en $W'$ porque cada reflexión simple tendría que ir a un producto infinito. Aunque no lo he visto definido y no conozco la bibliografía, imagino que existe una incrustación de $W$ en alguna terminación adecuada de $W'$ .

Por ejemplo, esto da la incrustación de $I_2(\infty)$ en $A_{\infty}$ enviando cada reflexión simple en $I_2(\infty)$ al producto de cualquier otra reflexión simple en $A_{\infty}$ .

De todos modos, el resultado de todo esto es que uno podría potencialmente estudiar grupos Coxeter arbitrarios (con $S$ finito) utilizando sólo (terminaciones de) los de encaje simple (con $S'$ posiblemente infinito).