No, tal $X$ no existe.
Supongamos lo contrario. Tome un punto $O$ que está fuera de todos los discos y de un círculo $\omega$ centrado en $O$ . Implementamos la polaridad con respecto a este círculo (por lo tanto, en lo que sigue consideramos sólo las líneas que no pasan por $O$ ).
Coge cualquier bola $B_i\in X$ . Los polos de todas las líneas tangentes a $B_i$ forman una hipérbola $h_i$ con un enfoque en $O$ entonces los polos de todas las líneas que se cruzan $B_i$ forman el conjunto $H_i$ que consiste en $h_i$ y de los puntos interiores de sus dos ramas. Sea $A_i$ sea el cono delimitado por las asíntotas de $h_i$ y que contiene $H_i$ (suponemos que $A_i$ no contiene ningún punto de las asíntotas excepto $O\in A_i$ ). Nótese que en cualquier subcono cerrado de $A_i$ todos los puntos que están lo suficientemente lejos de $O$ mienten en $H_i$ .
El hecho de que $X$ satisface las propiedades requeridas y produce que los conjuntos $H_i$ cubren el plano (excepto para $O$ ) pero en un número limitado de capas. Demostraremos que esto es imposible.
Tomar un $A_{i_1}$ y algún su subcono cerrado $S_1$ . Algún punto interior $x_1$ de $S_1$ no está cubierto por $H_{i_1}$ por lo que está cubierto por algunos $H_{i_2}$ . Tome un subcono cerrado $S_2$ de $S_{i_1}\cap A_{i_2}$ y proceder de forma similar. Así, en el $(k+1)$ En el segundo paso elegimos un punto interior $x_k\in S_k$ no está cubierto por $H_{i_1},\dots,H_{i_k}$ (todos los puntos lo suficientemente cerca de $O$ son tales), tome $H_{i_{k+1}}$ cubriendo $x_k$ y tomar un subcono cerrado $S_{k+1}$ de $S_k\cap A_{i_{k+1}}$ .
Por último, para cada $k$ todos los puntos de $S_{k}$ que están lo suficientemente lejos de $O$ están cubiertos por cada uno de $H_{i_1},\dots,H_{i_k}$ por lo que algún punto está cubierto por un número arbitrario de $H_i$ .
