Deje $\displaystyle\;\;\lambda = \frac{\pi}{b-a}.\;\;$ Desde $f(a) = f(b) = 0$$f \in C^1[a,b]$, la función definida por:
$$\varphi(x) = \begin{cases}
\frac{f'(a)}{\lambda}, & x = a\\
\\
\\
\frac{f(x)}{\sin(\lambda(x-a))}, & a < x < b\\
\\
\\
-\frac{f'(b)}{\lambda}, & x = b
\end{casos}$$
es $C^1$ $(a,b)$ y continua en$a$$b$. Tenemos
$$\int_a^b |f'(x)|^2 dt
= \int_a^b \Big(\varphi'(x) \sin(\lambda(x-a)) + \lambda \varphi(x) \cos(\lambda(x-a))\Big)^2 dx
$$
Aviso a la cruz de término en el integrando se puede simplificar como:
$$\begin{align}
& 2\lambda \varphi(x)\varphi'(x) \sin(\lambda(x-a))\cos(\lambda(x-a))\\
= & \frac{\lambda}{2} (\varphi^2(x))'\sin(2\lambda(x-a))\\
= & \frac{\lambda}{2} \frac{d}{dx}\left[ \varphi^2(x) \sin(2\lambda(x-a))\right] - \lambda^2 \varphi^2(x) \cos(2\lambda(x-a))
\end{align}$$
Nos encontramos
$$\begin{align}
& \int_a^b |f'(x)|^2 dt\\
= & \int_a^b \Big( |\varphi'(x)|^2 + \lambda^2 |\varphi(x)|^2 \Big) \sin^2(\lambda(x-a)) dx
+ \frac{\lambda}{2} \left[\varphi^2(x) \sin(2\lambda(x-a))\right]_a^b\\
\ge & \lambda^2 \int_a^b |\varphi(x)|^2 \sin^2(\lambda(x-a)) dx\\
= & \lambda^2 \int_a^b |f(x)|^2 dx\\
\ge & \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b |f(x)|^2 dx
\end{align}
$$
Por favor, tenga en cuenta que por encima de los pasos que contienen en realidad una prueba de Wirtinger la desigualdad de las funciones mencionadas en Noam la respuesta. Para otras pruebas de esta desigualdad, por favor ver este
pregunta y los enlaces que hay.
