No, no hay ninguna diferencia. A partir de los otros axiomas de grupo puedes demostrar que los inversos, si existen, son únicos, así que si tienes $\forall x\exists y(xy=1=yx)$ puede utilizarlo para construir la función de inversión de forma única siempre que la necesites.
Del mismo modo, se puede considerar que el elemento de identidad forma parte del grupo ("un grupo es un cuádruple $(A,\ast,(\cdot)^{-1},1)$ tal que ..."), o simplemente hacer un grupo axioma que algo que se comporta como la identidad existe . De nuevo, dado que una identidad es necesariamente única, esto no supone una gran diferencia.
Se pueden encontrar libros de texto que adoptan cualquiera de los dos enfoques. A veces, la elección se debe a la conveniencia técnica, por ejemplo, si uno quiere encajar los grupos en algún marco general para las estructuras algebraicas que no se maneja bien con los axiomas existencialmente cuantificados. Entonces, considerar la identidad y la inversión como operaciones de grupo en lugar de axiomas será una ventaja.
Hay que tener en cuenta que las cosas pueden ser diferentes en estructuras algebraicas distintas de los grupos. Por ejemplo, un monoide es como un grupo, excepto que no tiene necesariamente inversos. Sin embargo, un monoide debe tener un elemento de identidad y, al igual que en el caso de los grupos, se puede demostrar fácilmente que el elemento de identidad es único. Sin embargo, resulta esencial insistir en que la identidad en un monoide es un designado (o en otras palabras, una operación sin entradas), y no sólo una que se supone que existe.
El problema es que el monoide homomorfismos se supone que llevan las identidades a las identidades, y esto no se implica simplemente exigiendo que el homomorfismo preserve la operación binaria. De lo contrario, un homomorfismo del monoide trivial $\{0\}$ podría tomar $0$ a cualquier elemento idempotente del monoide objetivo, y no queremos eso. (Esto no es un problema para los grupos, porque los grupos no tienen elementos idempotentes aparte de la identidad).
Así que si queremos definir un "homomorfismo" generalmente como "un mapa que conmuta con todas las operaciones de nuestra estructura algebraica", entonces es mejor que consideremos que el elemento identidad de un monoide es una operación.
(Podría decirse que este sentido genérico de "homomorfismo" en un ejemplo de un "marco general para las estructuras algebraicas que no trata bien los axiomas existencialmente cuantificados").
