Toda la discusión parece girar en torno a si el gráfico vacío (o el espacio vacío) debe considerarse "conectado". Angelo y yo somos de la opinión de que no, pero hay que explicarlo porque algunas de las definiciones tradicionales de "conectado" parecen permitir que el espacio vacío esté conectado.
Un contexto general abstracto es el siguiente. Sea $C$ sea una categoría con coproductos finitos con la propiedad de que para dos objetos cualesquiera $a$ , $b$ (cuyo coproducto se denota $a+b$ ), el functor canónico
$$C/a \times C/b \to C/(a+b): (x \to a, y \to b) \mapsto (x + y \to a + b)$$
es una equivalencia. Se dice que tal categoría es extenso . La categoría de espacios topológicos es extensiva, la categoría de grafos es extensiva, cualquier topos es extensivo, y hay muchos, muchos otros ejemplos.
Ahora, digamos que un objeto $a$ en una categoría extensa es conectado si el functor
$$\hom(a, -): C \to Set$$
preserva los coproductos binarios (por lo que se puede demostrar que preserva los coproductos finitos). Esta es una definición fundamental; véase la nLab para una discusión más amplia. Según esta definición, el espacio vacío (el gráfico vacío, etc.), es decir, el objeto inicial, no está conectado.
Una definición equivalente es decir $c$ está conectado si, siempre que $c \cong a + b$ exactamente uno de $a, b$ está habitada. Si uno insiste en que el espacio vacío debe estar conectado, entonces cambie la palabra "exactamente" por "como máximo", y en lugar de decir el mapa canónico $\hom(c, x) + \hom(c, y) \to \hom(c, x + y)$ es un isomorfismo, digamos que es meramente surjetivo. Sin embargo, la mayoría de los resultados se obtienen de forma más limpia trabajando con la definición anterior, que descalifica el conjunto vacío.
Comparar la noción de ideal primo: trabajar en el entramado de ideales de un p.i.d. $R$ donde $\leq$ viene dada por la inclusión inversa, el coproducto o unión de ideales $a, b$ es $ab$ el ideal inicial es $R$ y decimos que un ideal $p$ es prime si $p \neq R$ y $p \leq ab$ implica $p \leq a$ o $p \leq b$ . La condición $p \neq R$ se considera fundamental para la definición de primo. Sin ella, ya no tenemos, por ejemplo, una descomposición única de los números enteros en factores primos (compárese con el hecho de que todo grafo es únicamente un coproducto de grafos conexos según nuestra definición, pero esto no es así si se considera que el grafo vacío es conexo). Véanse también los numerosos ejemplos en la discusión de nLab "demasiado simple para ser simple" por ejemplo, $1$ es demasiado simple para ser un primo, y el módulo cero se considera demasiado simple para ser un módulo simple.
Todo grafo acíclico (un bosque) es exclusivamente un coproducto de grafos acíclicos conectados (es decir, árboles) según nuestra definición de conectividad. Esto incluye el bosque vacío . Así que un bosque puede estar vacío, pero un árbol no.
