L(v, w) es un espacio vectorial

Question

Esta es una pregunta muy conocida y repetida, pero me gustaría profundizar un poco más en ella.

A la hora de demostrarlo, tenemos que verificar cada propiedad.

Digamos que ya hemos demostrado que es cerrado bajo + y multiplicación escalar.

Ahora queremos demostrar la asociatividad:

Dejemos que $S, T, Q \in L(V, W)$ . Esto significa que cada uno de ellos es un mapa lineal del espacio vectorial V al espacio vectorial W). Así que tiene sentido decir $S(x)$ es un elemento de $W$ por cada $x \in V$ .

La asociatividad: $ S + (T + Q) = (S + T) + Q$

La prueba estándar utiliza que $[S + (T + Q)] (v) = [(S + T)+Q] (v)$

Así que significa que consideramos lo mismo $v \in V$ .

Mi pregunta es: ¿por qué hacer

$S(v_1) + (T(v_2) + Q(v_3)) = (S(v_1) + T(v_2))+Q(v_3)$

¿se equivocaría? Donde $v_1, v_2, v_3 \in V$ .

La última ecuación significaría $ w_1 + (w_2 + w_3) = (w_1 + w_2) + w_3$ lo cual es cierto porque $W$ es un espacio vectorial.

Creo que el error radica en que hemos definido $(S+T)v = Sv + Tv$ y demostró que $S+T$ es un mapa lineal por lo que cuando estamos demostrando la asociatividad:

Dejemos que $T+Q = A$ y $S+T = B$ ,

estamos haciendo $(S + A)v$ y queremos ver si esto es lo mismo que $(B + Q)v$

Sería bueno leer algo de sabiduría que aclare todo el escenario.

Gracias, como siempre.

Answer 1

Volvamos atrás por un segundo, cuando estamos demostrando la asociatividad por ejemplo en un monoide $(M, +)$ queremos $$\forall a,b,c \in M,\space \space a+b+c = (a+b)+c = a +(b+c)$$ En esta situación no tenemos que preocuparnos por $a,b,c$ al ser un funcional lineal sólo tenemos que encontrar una manera de verificar que la asociatividad se mantiene. En nuestro ejemplo queremos $\forall S,T,Q \in L(V,W)$ que la asociatividad se mantiene, ¿qué significa esto? Significa que tienen que ser iguales a los funcionales lineales, ya que son elementos en $L(V,W)$ $$(S+T) + Q = S+(T+Q)$$ ¿cómo verificamos si dos funcionales lineales $L_1, L_2$ en $V$ son iguales, por ejemplo si $L_1(v) = L_2(v), \forall v \in V$ , en nuestro caso significa $$[(S+T) + Q](v) = [S+(T+Q)](v)$$ cada uno de ellos aplicado a la misma $v$ . El uso de tres vectores diferentes no nos lleva a una conclusión errónea pero no estamos verificando la asociatividad de $L(V,W)$ sólo estamos verificando si esa ecuación en particular es verdadera, que es para la asociatividad de $W$ . Espero que esto ayude.