Encontrar la ecuación diferencial correspondiente a $$y=\sum_{i=1}^3 c_i e^{m_ix}$$ donde $c_i$ son las constantes arbitrarias y $m_1,m_2,m_3$ son las raíces de la ecuación $m^3-7m-1=0$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay que entender cómo se conectan aquí algunas cosas. En primer lugar, ¿cuál es la relación entre una ecuación diferencial ordinaria, y su llamada ecuación característica?
Si la ecuación diferencial es $a_n y^{(n)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0$ entonces la ecuación característica es $a_n m^n + \dots + a_1 m + a_0 = 0$ . Para ver el porqué de esto, suponemos $y = e^{mx}$ y se introduce esta conjetura en la ecuación diferencial, y luego se divide por $e^{mx}$ (como nunca es cero, esto está bien).
En segundo lugar, ¿cómo determinan las raíces de la ecuación característica las soluciones de la ecuación diferencial?
Si $m$ es una raíz de la ecuación, entonces $e^{mx}$ es una solución de la ecuación diferencial.
Por último, está el principio de superposición, que dice que, si $y_1$ y $y_2$ son soluciones de una ecuación lineal homogénea, entonces $c_1 y_1 + c_2 y_2$ también lo es. Esto se extiende de manera obvia a 3 (o más) soluciones.
Por lo tanto, la respuesta es
y''' - 7y' - y = 0
