¿Qué significa "la imagen de un intervalo es también un intervalo" cuando esta frase se utiliza para describir la propiedad del valor intermedio?

Question

Wikipedia dice del Teorema del Valor Intermedio que

En el análisis matemático, el teorema del valor intermedio establece que si $f$ es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo $[a, b]$ entonces toma un valor cualquiera entre $f(a)$ y $f(b)$ en algún momento del intervalo.

Del Teorema de Darboux dice

Afirma que toda función que resulta de la diferenciación de otra función tiene la propiedad del valor intermedio: la imagen de un intervalo es también un intervalo.

¿Qué significa "la imagen de un intervalo es también un intervalo"?

Answer 1

Dejemos que $f:(X,d_{X})\to(Y,d_{Y})$ sea un mapeo continuo entre espacios métricos.

Si $C\subseteq X$ está conectado, entonces su imagen $f(C)\subseteq Y$ también está conectado.

En el contexto de la recta real, los conjuntos conectados son exactamente los intervalos.

En consecuencia, si $X = Y = \mathbb{R}$ y se nos da un intervalo $I\subseteq\mathbb{R}$ , $f(I) = J\subseteq\mathbb{R}$ también está conectado.

Por lo tanto, $J$ es un intervalo, y hemos terminado.

Espero que esto ayude.