Teorema de la divergencia, las integrales no dan el mismo resultado.

Question

Estoy tratando de encontrar el flujo que sale de la semiesfera $$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$$ utilizando el teorema de la divergencia, pero estoy obteniendo resultados diferentes entre las integrales: $$\iiint \operatorname{div} F\, dV= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^23r^2\sin(\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\theta=16\pi$$ y \begin{align*}\iint FdS&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}8\cos^2(\theta)\sin^3(\varphi)+8\sin^2(\theta)\sin^3(\varphi)+4\sin(\varphi)\cos^2(\varphi)\,d\varphi\,d\theta\\ &+\int_0^{2\pi}\int_0^{2}(r\cos(\theta),r\sin(\theta),0)(0,0,-r)\,dr\,d\theta\\ &=\frac{40}{3}\pi, \end{align*}

y el campo vectorial es $$F(x,y,z)=(x,y,z).$$

Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería, ¡gracias!

Answer 1

Su integral de divergencia se ve bien, ya que $\operatorname{div}F=3.$ Creo que no has configurado correctamente tu integral de superficie. Y sí, los paréntesis ayudarían a la claridad. Yo utilizaría coordenadas esféricas para la parte superior de la semiesfera y coordenadas polares (cilíndricas) para la base.

Lo has hecho: \begin{align*} \iint_S(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS&=\iint_{\text{top}}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS+\iint_{\text{base}}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\left[\langle x,y,z\rangle\cdot\underbrace{\frac{\langle x,y,z\rangle}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}_{\mathbf{n}=\hat{\mathbf{r}}}\right]r^2\sin(\varphi)\,d\varphi\,d\theta \\ &+\int_0^{2\pi}\int_0^2\left[\langle x,y,z\rangle\cdot\underbrace{\langle 0,0,-1\rangle}_{\mathbf{n}}\right]\,r\,dr\,d\theta\\ &=r^3\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\sin(\varphi)\,d\varphi\,d\theta+\underbrace{\int_0^{2\pi}\int_0^2(-z\,r)\,dr\,d\theta}_{=0,\;\text{because}\; z=0}\\ &=16\pi, \end{align*} como antes. Nótese que he utilizado la simplificación $$\langle x,y,z\rangle\cdot\frac{\langle x,y,z\rangle}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{r^2}{r}=r,$$ y que $r=2$ en la superficie superior de la semiesfera.