Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $n$ . Demostrar que $G$ tiene como máximo $n$ diferentes subgrupos cíclicos.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $n$ . Demostrar que $G$ tiene como máximo $n$ diferentes subgrupos cíclicos.

Sé que los generadores del grupo forman el subgrupo cíclico. El número de generadores, como máximo, es el número de elementos del grupo, ( $n$ ). ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Básicamente, el argumento es "Cualquier subgrupo cíclico está generado por al menos uno por lo que no puede haber ningún elemento más subgrupos cíclicos que elementos de $G$ ."

Para ser más formal, dejemos que $X$ sea el conjunto de subgrupos cíclicos de $G$ es decir, $$X=\{H\subseteq G:H = \langle g\rangle \text{ for some }g\in G\}$$ Dejemos que $f:G\to X$ sea la función que toma un elemento $g\in G$ y salidas $\langle g\rangle\in X$ el subgrupo cíclico de $G$ generado por ese elemento $g$ . En símbolos, esto se escribiría $f(g)=\langle g\rangle$ .

Cualquier subgrupo cíclico $H$ de $G$ es de hecho generado por algún elemento de $G$ (por definición). Es decir, cualquier elemento de $X$ es igual a $f(g)$ para algunos $g\in G$ . Esto simplemente dice que $f:G\to X$ es suryectiva, y por tanto la cardinalidad de $X$ es menor o igual que la cardinalidad de $G$ .

Tenga en cuenta que $f$ suele ser no inyectiva; es decir, muchos elementos generarán el mismo subgrupo cíclico. Por ejemplo, en $G=\mathbb{Z}_{6}$ tenemos los subgrupos cíclicos $$X=\{\{0\},\{0,3\},\{0,2,4\},\{0,1,2,3,4,5\}\}$$ y la función $f:G\to X$ actúa así: $$\begin{align*} f(0)=\langle 0\rangle &= \{0\}\\ f(1)=\langle 1\rangle &= \{0,1,2,3,4,5\}\\ f(2)=\langle 2\rangle &= \{0,2,4\}\\ f(3)=\langle 3\rangle &= \{0,3\}\\ f(4)=\langle 4\rangle &= \{0,2,4\}\\ f(5)=\langle 5\rangle &= \{0,1,2,3,4,5\} \end{align*}$$

Answer 2

Decir un grupo cíclico es equivalente a decir un generador del mismo; ya que $G$ tiene orden $n$ El $n$ elementos dará como máximo $n$ grupos cíclicos.