¿Por qué debería fielmente plano descenso preservar tantas propiedades?

Question

Esta pregunta se basa en la siguiente proposición (EGA IV, 2.7.1)

Deje $f: X \rightarrow Y$ $S$- morfismos de $S$-planes, $g: S'\rightarrow S$ un fielmente plana y cuasi-compacto de morfismos. Denotar $X \times_S S'$$X'$, y denotan $Y \times_S S'$ $Y.$ Tenemos un natural de morfismos $f': X\rightarrow Y.$ tenga en cuenta las siguientes propiedades de morfismos:

(i) separados

(ii) quasiseparated

(iii) localmente finito de tipo

(iv) localmente finito de presentación

(v) tipo finito

(vi) finito presentación

(vii) la

(viii) isomorfismo

(ix) monomorphism

(x) abierto de inmersión

(xi) cuasi-compacto de inmersión

(xii) cerrado de inmersión

(xiii) afín

(xiv) cuasi-afín

(xv) finito

(xvi) cuasi-finito

(xvii) completo (no estoy seguro exactamente lo que es un "morphisme entier", pero la lectura de la wikipedia en francés me dio la impresión de que es una integral de morfismos)

Si $P$ es una de las anteriores propiedades, a continuación, $f$ propiedad $P$ si y sólo si $f'$ propiedad $P.$

Mi impresión de la prueba es que hay muy pocos ingredientes necesarios para demostrar esta proposición, donde los diferentes ingredientes son necesarios para las diferentes propiedades, y me sorprende que no parece haber ningún "principio unificador" que cubre todas las pruebas.

Lo que me gustaría es algo como esto teorema: Vamos a $P$ ser una propiedad cerrada en virtud de la composición y de cambio de base. Entonces, si $f:X \rightarrow Y$ es un mapa de $Z$-planes, de tal manera que la estructura de morfismos $X \rightarrow Z$ $P$ y la diagonal de morfismos de la estructura de morfismos $Y \rightarrow Z$$P$,$f$$P$. Me gusta este teorema debido a que afirma explícitamente las condiciones de la propiedad para satisfacer las necesidades, y las condiciones son bastante flojos. Entonces, usted tiene esencialmente la misma prueba de este teorema para cada propiedad $P$.

Es allí cualquier unificación de las pruebas para llegar a este resultado? Para mí, parece que este resultado es increíblemente misterioso milagro. Agradecería cualquier intuición detrás de este resultado.

Answer 1

Creo que un "fiel plana" de morfismos en la geometría algebraica puede considerarse como análoga a un surjective mapa de conjuntos (tal vez de forma más precisa como algo parecido a un fibration con surjective de la imagen). Un montón de primaria propiedades que puede formular acerca de un mapa de los conjuntos de prueba después de la base de cambio por un surjection. Por ejemplo, si $f: X \to Y$ es una función, entonces $f$ es surjective (resp. inyectiva) si y sólo si el cambio de base de a $f$ a lo largo de un surjection $Y' \to Y$ es. Hay más en esta analogía: se puede recuperar la función de $f$ de su base de cambio a lo largo de $Y' \to Y$ (bajo la condición de que los dos de la base de los cambios a $Y' \times_Y Y'$ está de acuerdo); el análogo de esta para los proyectos (un caso especial de) fielmente plano descenso, explicó, por ejemplo, en Vistoli del artículo.

No sé de un general categórica configurar relevante aquí. Sin embargo, para desmitificar este resultado, es posible que trate de probar los análogos en el álgebra conmutativa, por ejemplo, el siguiente: dado un $A$-módulo de $M$ ($A$ un anillo) y un fielmente plana extensión de $A \to B$, $M$ es finitely generado si y sólo si $M \otimes_A B$ es finitely generado.

Answer 2

Para añadir un poco de Akhil agradable respuesta:

Akhil la respuesta explica que un fielmente plano de morfismos es análogo a un surjective mapa de conjuntos. Esto no debería ser una sorpresa, porque el fiel de parte de los fieles planitud es, precisamente, que los morfismos ser surjective.

Hay otra analogía que es intuitivamente útil, en el que hacemos una comparación no con la categoría de conjuntos, pero con un poco más geométrica categoría, la categoría de espacios topológicos:

Es decir, un fielmente plano de morfismos en la geometría algebraica es análoga para un cociente de morfismos de topogical espacios (es decir, un surjective de morfismos en el que el objetivo es dado el cociente de la topología inducida por la topología de la fuente). De nuevo, esto debe parecer muy natural una vez que recordar que un fielmente plano de morfismos de los esquemas es un cociente de mapa cuando pasamos a los espacios topológicos. (Ver el artículo de la wikipedia para que la citación EGA IV.)

Así que la idea es que el destino de un fielmente plano de morfismos pueden ser obtenidos como el cociente de su origen sólo mediante la imposición de una adecuada relación de equivalencia, y por lo tanto muchas de las propiedades de la planta baja en su lugar puede comprobarse en el piso de arriba.