En mi clase de teoría de conjuntos, el profesor dijo que si $\alpha$ es un ordinal de la forma $\alpha=\kappa + \beta$, donde $\kappa$ es un cardinal infinito y $\beta$ es un ordinal menor que $\kappa$, entonces $[0,\alpha[$ es homeomorfo a $[0,\kappa[$.
Creo que eso no es correcto porque $[0,\alpha[$ sería compacto (porque $\alpha$ es sucesor) y $[0,\kappa[$ no (porque $\kappa$ es un ordinal límite). ¿Alguien podría ayudarme?
Gracias de antemano.
Estás en lo correcto al pensar que el profesor está equivocado, pero no es cierto que $\alpha$ sea necesariamente un sucesor. Lo que es cierto es que $[0,\alpha)$ es homeomorfo a la unión disjunta de $[0,\kappa]$ y $[0,\beta)$, que es compacto si y solo si $\beta$ es un ordinal sucesor. Si $\beta$ es un ordinal sucesor, $[0,\alpha)$ es homeomorfo a la suma ordinal $\beta+\kappa+1=\kappa+1$ y, por lo tanto, a $[0,\kappa]$, mientras que $[0,\kappa)$ no es compacto.
Por cierto @Brian M. Scott, ¿ese resultado implica en particular que todos los conjuntos cerrados de cardinalidad $\kappa$ son homeomorfos a $[0,\alpha[$? Gracias.
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Para complementar la respuesta de Brian, se puede afirmar con precisión cuándo dos ordinales son homeomórficos. Ver aquí.
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@Andrés: ¡Ah, qué bueno; eso fue antes de que comenzara aquí, y no lo había encontrado antes.
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@Brian Otra pregunta interesante es clasificar aquellos ordinales $\alpha$ tales que si $\beta$ es homeomorfo a $\alpha$, entonces contiene un subconjunto de tipo $\alpha$ y es homeomorfo a $\alpha$ (Baumgartner diría que el subconjunto es order-homeomorfo a $\alpha$).
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La votación negativa en esta pregunta es difícil de interpretar como algo que no sea una muestra de ignorancia: es una pregunta inteligente con un contexto obviamente adecuado. La única otra explicación plausible es el vandalismo por el mero placer de hacerlo.