Demostrar que $(x_n)\rightarrow 0$ si $(y_n)\rightarrow 0$

Question

Quiero demostrar el siguiente teorema:

Dejemos que $q$ sea un número real tal que $0 q < 1$ . Sea $(x_n)$ sea una secuencia acotada y que $(y_n)$ sea la secuencia definida por $n \mathbb{N}, y_n = x_n qx_{n+1}$ . Si $y_n$ converge a $0$ entonces $x_n$ converge a $0$ .

Puedo demostrar que cuando $\lim x_n$ existe, $(x_n)\rightarrow 0$ pero mi problema es mostrar que $\lim x_n$ de hecho existe. Mi estrategia es mostrar que $\limsup x_n = \liminf x_n$ para que pueda concluir que $\lim x_n$ existe. Por supuesto, cuando $q=0$ El resultado es inmediato.

Esto es lo que tengo hasta ahora, cuando $0<q<1$ ,

\begin{align*} \limsup y_n & = \limsup(x_n-qx_{n+1})\\ & \leq \limsup(x_n) + \limsup(-(qx_{n+1})\\ & = \limsup(x_n) -\liminf(qx_{n+1})\\ & = \limsup(x_n) - q\liminf(x_{n+1})\\ & = \limsup(x_n) - q\liminf(x_n), \end{align*}

y por un razonamiento similar he podido demostrar

\begin{align*} \liminf y_n \geq \liminf x_n -q\limsup x_n. \end{align*}

Puedes suponer que cada línea se desprende de un resultado que demostré en un problema anterior. Teniendo en cuenta lo que tengo hasta ahora, ¿hay una manera de llegar a $\limsup x_n \leq \liminf x_n$ para que pueda concluir $\limsup x_n = \liminf x_n$ ? ¿Qué me falta?

Quiero utilizar el hecho de que $y_n$ converge a $0$ Pero cada vez que intento utilizar este hecho con mis desigualdades, sólo llego a lo que ya sabemos: $\liminf x_n \leq \limsup x_n$ .

Answer 1

$0\le q<1$ entonces $-1<-q$ si $-|x_{n+1}|\leq-q|x_{n+1}|$ si $|x_n|-|x_{n+1}|\leq|x_n|-q|x_{n+1}|\leq|x_n-qx_{n+1}|=|y_n|\to0$

Por lo tanto, $|x_n|$ es una secuencia de Cauchy. Supongamos que $|x_n|\to c$ . Aplicando el límite en $|x_n|-q|x_{n+1}|\leq|y_n|$ obtenemos $(1-q)c=0$ . Como $1-q \neq0$ obtenemos $c=0$ es decir, $|x_n|\to0$ . Por lo tanto, $x_n\to0$ .

Answer 2

La respuesta de Jaca está bien pero aquí tienes un argumento siguiendo tu línea de pensamiento por si lo necesitas.

Por lo tanto, el hecho de que $(x_n)$ es una secuencia acotada nos permite jugar con ambos $\limsup x_n$ y $\liminf x_n$ como números, lo que quiero decir es que ambos límites son finitos.

Recuerde que, como $\lim y_n=0$ tenemos ambos límites, superior e inferior, iguales a cero.

Tenemos $x_n=y_n+qx_{n+1}$ , tomando $\limsup$ en ambos lados obtenemos \begin{align} \limsup x_n &\leq \limsup y_n + q\limsup x_{n+1} \\ &= \limsup y_n + q\limsup x_{n} . \end{align} De modo que $$ (1-q)\limsup x_n \leq 0 $$ Desde $1-q>0$ (estamos en el interesante caso $0<q<1$ ) debemos tener $\limsup x_n\leq 0$ . Ahora toma $\liminf$ en la ecuación $x_n=y_n+qx_{n+1}$ para que $$ \liminf x_n \geq q\liminf x_n \quad\Rightarrow\quad (1-q)\liminf x_n\geq 0 , $$ y similares, $1-q>0$ implica $\liminf x_n\geq 0$ y obtenemos $\liminf x_n=\limsup x_n =0$ .