Sí, se puede "cancelar" la cerrazón. De hecho, así es como se suele enunciar el teorema de Arzela-Ascoli. El enunciado de Arzela-Ascoli que se enseña en mi curso es el siguiente:
Dejemos que $K$ sea un espacio compacto y $C(K)$ sea el espacio de las funciones continuas de valor real sobre $K$ . Entonces $S \subset C(K)$ es totalmente acotado si y sólo si es acotado y equicontinuo.
En una línea similar en lugar del resultado en su primera frase un resultado ligeramente diferente que habla de no cerrado $S$ es: un subconjunto $S$ de un espacio métrico completo es precompacto (es decir $\bar{S}$ es compacto) si y sólo si $S$ está totalmente acotado. Es equivalente al resultado que usted ha declarado ya que $S$ está totalmente acotado si y sólo si $\bar{S}$ está totalmente acotado.
Finalmente su segundo punto es correcto, un subconjunto totalmente acotado de $C(K)$ es equicontinua, ya que es una sentencia if y only if.
Prueba de Arzela-Ascoli:
En primer lugar, dejemos que $S$ estar totalmente acotado. Entonces, ciertamente $S$ está acotado. Para demostrar la equicontinuidad, fijemos un punto $x \in K$ y $\epsilon > 0$ . Entonces existe un $\epsilon$ -red $\{f_1, \ldots, f_n\} \subset S$ . Entonces, como cada $f_i$ es continua, existe una vecindad abierta de $x$ , $U_i$ , tal que para todo $y \in U_i$ tenemos $\lvert f_i(y) - f_i(x) \rvert < \epsilon$ .
Ahora toma $U = \cap_{i=1}^n U_i$ que sigue siendo una nbhd abierta de $x$ . Entonces, para cualquier $y \in U$ y $f \in S$ existe $f_i$ tal que $\lVert f - f_i \rVert < \epsilon$ . Entonces $$ \lvert f(y) - f(x) \rvert \leq \lvert f(y) - f_i(y) \rvert + \lvert f_i(y) - f_i(x) \rvert + \lvert f_i(x) - f(x) \rvert < 3 \epsilon $$ Así que $S$ es equicontinuo.
A la inversa, dejemos que $S$ estar acotado y ser equicontinuo. Entonces por equicontinuidad para todo $x \in K$ existe una nbhd abierta $U_x$ de $x$ tal que para todo $y \in U_X$ , $f \in S$ tenemos $\lvert f(x) - f(y) \rvert < \epsilon$ . Entonces $K = \cup_{x \in K} U_x$ así que por compacidad $K = \cup_{i = 1}^n U_{x_i}$ para algunos $x_1, \ldots, x_n$ . Consideremos ahora el mapa $$ \varphi: C(K) \to \mathbb R^n, \quad \varphi(f) = (f(x_1), \ldots, f(x_n))$$ Es fácil comprobar que $\varphi$ preserva la acotación de $S$ Por lo tanto $\varphi(S)$ es un subconjunto acotado de $\mathbb R^k$ . Entonces, por Heine-Borel $\overline{\varphi(S)}$ es un compacto, por lo tanto $\overline{\varphi(S)}$ y por lo tanto $\varphi(S)$ está totalmente acotado en $\mathbb R^k$ . Ahora arregla $\epsilon > 0$ y elegir un $\epsilon$ -red $\{\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_n)\}$ de $\varphi(S)$ en $\mathbb R^k$ mostramos $\{f_1, \ldots, f_m\}$ es un $3\epsilon$ -red de $S$ en $C(K)$ .
Arreglar cualquier $y \in K$ y $f \in C(K)$ . Entonces existe $f_j$ tal que $\lvert f(x_i) - f_j(x_i) \rvert < \epsilon$ para todos $i = 1, \ldots, n$ . Entonces $K = \cup_{i=1}^n U_{x_i}$ así $y \in U(x_i)$ para algunos $i$ . Entonces $$ \lvert f(y) - f_j(y) \rvert \leq \lvert f(y) - f(x_i) \rvert + \lvert f(x_i) - f_j(x_i) \rvert + \lvert f_j(x_i) - f(y) \rvert < 3\epsilon$$ Así, $\lVert f - f_j \rVert < 3\epsilon$ así que como se requiere $\{f_1, \ldots, f_m\}$ es un $3\epsilon$ -red de $S$ . Así que $S$ está totalmente acotado.
