Encontrar el valor esperado de una variable aleatoria continua con una función polinómica. Actualizar encontrando la integral.

Question

Los siniestros mensuales de una compañía de seguros se modelan mediante una variable aleatoria continua y positiva $X$ cuya función de densidad de probabilidad es proporcional a $(x+1)^{-4}$ donde $0 \lt x \lt \infty$

Necesito ayuda para entender el razonamiento de la respuesta:

el PDF viene dado por:

$1 =\int_0^{\infty} \frac{k}{(1+x)^{-4}}$

Este es mi primer problema en el primer paso, ¿de dónde viene K? Nos dan el pdf para que sea $\frac{1}{(x+1)^{4}}$ Así que para mí sería que la función que se nos da es el PDF porque dice que es el pdf, y estamos entonces para encontrar el valor esperado de aquí que sería equivalente a:

$\int_0^{\infty} x(1+x)^{-4}$ por la definición del valor esperado

Mi suposición sería que las palabras "proporcional a" son la clave de por qué tenemos una K introducida ¿puede alguien explicar esto?

Lo entiendo todo excepto cuando se toma la integral porque y se resuelve por 1 porque llego a $\frac{3k}{(1+x)^4}$ en lugar de $\frac{-1}{3(1+x)^4}$

Tomando la integral de $(1+x)^4$ :

$u=1+x$ $du=1dx$ y

$\frac{u^{-4+1}}{-4+1} dx$

que da $\frac{-3k}{(1+x)^3}$

Lo que me da $k=\frac{1}{3}$ al resolver $1=\frac{-3k}{(1+x)^4} \Big\vert_0^{\infty}$ en lugar de $k=3$ como la respuesta que es la correcta. ¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Sí, su suposición es correcta. No se nos da que el pdf es $1 \over (x+1)^4$ sino que es proporcional a que. Así, el pdf es $k \over (x+1)^4$ para algún desconocido $k$ . Pero, como se trata de un pdf, podemos calcular el valor de $k$ utilizando el hecho de que $1 = \int_0^\infty f(x) \, dx$ para cualquier función de densidad de probabilidad.

Desde, aquí, el valor esperado debería ser $\int_0^\infty x f(x) \, dx$ para la función de densidad de probabilidad correcta.