Probabilidad de que la parte común de dos segmentos de línea sea menor que un número dado

Question

En un segmento de línea recta $AB$ de longitud $a+b$ dos segmentos $PQ,P'Q'$ de longitudes $a,b$ respectivamente, se miden al azar.

Entonces, si $c$ es menor que $a$ o $b$ la posibilidad de que la parte común de $PQ,P'Q'$ es menor que $c$ es -----

Tomemos el punto $ A$ para ser el origen, y el punto $B$ para ser $a+b$ . Entonces Q es y y P' es x.por lo que la probabilidad requerida debe ser

$$\frac{\int_{a}^{a+b} \int_{y-c}^y dxdy}{ \int_{a}^{a+b} \int_{0}^a dxdy}$$

Sin embargo, no obtengo la respuesta correcta. Por favor, ayúdenme en este sentido.

Gracias.

Answer 1

Desde $$\left|PQ \cup P'Q'\right|=|PQ|+|P'Q'|-\left|PQ \cap P'Q'\right|=a+b-|PQ \cap P'Q'|$$ obtenemos $$\left|PQ \cap P'Q'\right|=a+b-\left|PQ \cup P'Q'\right|$$

Ahora $$\left|PQ \cap P'Q'\right| < c\Leftrightarrow a+b-\left|PQ \cup P'Q'\right| < c \Leftrightarrow a+b-c<\left|PQ \cup P'Q'\right| \leq AB=a+b$$ Utilizando la probabilidad geométrica, esto es $$P\left(\left|PQ \cap P'Q'\right| < c\right)=1-\frac{c}{a+b}$$