Es el anillo de coordenadas de SL2 una unidad flash usb?

Question

Es el anillo de $K[a,b,c,d]/(ad-bc-1)$ una única factorización de dominio?

Creo que este es un regular de anillo, de modo que todas sus localizaciones son Ufd por el Auslander–Buchsbaum teorema. Sin embargo, sé que no son dominios de Dedekind (que son regulares; cada anillo local es un PID, por lo que definitivamente UFD) que no Ufd, por tanto, ser regular anillo de necesidad no implica que el anillo es un UFD.

Con la no-UFD dominios de Dedekind (al menos el número de anillos), por lo general se puede detectar una no única factorización, pero no veo aquí en este dimensional más alto ejemplo.

Answer 1

La respuesta es (probablemente) depende de $K$.
Si $K$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $\neq2$, entonces el anillo de $K[a,b,c,d]/(ad-bc-1)$ es un UFD.
Los resultados de esto (no trivial) de la Klein-Nagata teorema indica que si $n\geq 5$, el anillo de $K[x_1,...,x_n]/(q(x_1,...,x_n))$ es el factorial de cualquier campo $K$ de los característicos $\neq2$ y no degenerada forma cuadrática $ q(x_1,...,x_n)$.

No sé lo que pasa a tu pregunta sobre los no-algebraicamente cerrado campos.

Answer 2

Deje $R=K[X,Y,Z,T]/(XY+ZT-1)$. Es fácil ver que $R$ es una parte integral de dominio.

En el siguiente denotamos por a $x,y,z,t$ el residuo clases de $X,Y,Z,T$ modulo el ideal $(XY+ZT-1)$.

Primera nota de que $x$ es el primer: $R/xR\simeq K[Z,Z^{-1}][Y]$. Luego de observar que los $R[x^{-1}]=K[x,z,t][x^{-1}]$ y $x$, $z$, $t$ son algebraicamente independientes sobre $K$. Esto demuestra que $R[x^{-1}]$ es un UFD y de Nagata del criterio tenemos que $R$ es un UFD.

Answer 3

CW versión de Justin Campbell y Pete Clark respuesta:

De manera más general, el anillo de coordenadas de cualquier conecta simplemente, semisimple, algebraicas lineales grupo es una unidad flash usb. Prueba de ello es como el Corolario en la página 296 _{^{(p. 303 en la traducción)}} de Popov (1974). La prueba de que el corolario de la proposición se explica en el artículo 11.2 de Pete Clark de la Factorización de notas para aquellos de nosotros para quien la prueba no era evidente. Esto requiere el conocimiento de las coordenadas del anillo de un algebraicas lineales grupo es regular.

Georges Elencwajg la respuesta parece muy relacionados con el §9.4 de Pete, notas, donde, de hecho, el comportamiento muy similar anillos requiere característica no 2 y algebraicas de cierre para aplicar.

Por alguna razón, este anillo es siempre un UFD, independientemente de campo.

Todavía estoy interesado en una solución realmente puedo entender (entonces, ¿por qué el grupo de Picard de SL2 desaparecer?). La general de la prueba está disponible en Popov (1974) a los que se puede leer:

• Popov, V. L. "Picard grupos de espacios homogéneos de algebraicas lineales de los grupos y de una dimensión homogénea vector fiberings." Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 38 (1974), 294-322. MR357399
  URL:http://mi.mathnet.ru/eng/izv/v38/i2/p294 _^(original)
  DOI:10.1070/IM1974v008n02ABEH002107 _{^{(traducción)}}