Condición suficiente para la dimensión Hausdorff entera.

Question

Está más o menos en el título: ¿existe una condición suficiente no trivial en las formas geométricas que obligue a que la dimensión de Hausdorff sea un número entero?

La mayoría de los fractales parecen "complicados" de alguna manera, por lo que parece que deben violar alguna condición de regularidad fuerte.

No estoy familiarizado con el tema así que pido disculpas si es una pregunta obvia, pero no he podido encontrar una respuesta buscando en Google. Cualquier referencia será apreciada.

Answer 1

Sí. La noción de regularidad se puede enunciar en términos de densidad de forma análoga al teorema de la densidad de Lebesgue. Para que esto funcione, resulta que la dimensión debe ser un número entero. Los siguientes detalles se basan en la sección 5.1 del libro de Falconer Geometría fractal .

Dado un conjunto $F\subset\mathbb R^n$ de positivo y finito $s$ -medida de Hausdorff, definamos las densidades superior e inferior de $F$ en un punto $x\in\mathbb R^n$ por $$ \overline{D}^s(F,x) = \limsup_{r\rightarrow 0} \frac{{\cal H}^s(F\cap B_r(x))}{(2r)^s} $$ y $$ \underline{D}^s(F,x) = \liminf_{r\rightarrow 0} \frac{{\cal H}^s(F\cap B_r(x))}{(2r)^s}. $$ Un punto en el que las densidades superior e inferior son ambas 1 se llama regular y un punto que no es regular se llama irregular . $F$ se llama regular si $\cal H^s$ casi todos sus puntos son regulares. El teorema 5.2 del texto citado dice:

$F$ es irregular, a menos que $s$ es un número entero.

En particular, un conjunto regular debe tener una dimensión entera. Nótese que lo contrario no es cierto. Existen conjuntos irregulares en el plano de medida Hausdorff positiva, finita y unidimensional. Un conjunto tipo Sierpinski con las piezas escaladas por el factor $1/3$ sería un ejemplo.