Coeficientes de las teorías de cohomología de Weil

Question

Una teoría de cohomología de Weil es un functor de la categoría de variedades proyectivas lisas (sobre algún campo fijo $k$ ) a la clasificación $K$ -(para algún campo fijo $K$ ) que satisface varios axiomas. Por ejemplo, Betti, de Rham, $\ell$ -Las cohomologías rígidas y las adáquicas son todas teorías de cohomología de Weil.

En cada uno de estos escenarios se encuentra con frecuencia el concepto de categoría de coeficientes para una variedad determinada. Por ejemplo, en el $\ell$ -adica la categoría de los coeficientes de una variedad $X$ es la categoría de (no necesariamente lisse) $\ell$ -adicas en $X$ . En el entorno de Betti es la categoría de las láminas construibles en $X$ . En el entorno de Rham es la categoría de los regulares, holonómicos $D$ -módulos en $X$ . En el entorno rígido, una categoría de coeficientes sobre $X$ viene dada por la aritmética sobreholonómica $F$ - $D$ -módulos. Para cada teoría hay un constante para cada variedad y estos dan el functor de cohomología de Weil habitual.

Tengo dos preguntas (la segunda está relacionada con la primera):

1. ¿Cuál es el significado conceptual de una categoría de coeficientes de una variedad dada para una teoría de cohomología de Weil? ¿Existe un conjunto de axiomas que deban obedecer tales categorías? Si es así, ¿alguien tiene una referencia? ¿Por qué, por ejemplo, tomamos sólo los holonómicos regulares $D$ -módulos y no todos $D$ -¿módulos en el entorno de Rham?

2. En cada uno de los ejemplos anteriores hay importantes subcategorías de suave objetos. Para los casos anteriores vienen dados por: lisse $\ell$ -gracias a la adicción, sistemas locales, conexiones integrables y sobreconvergencia $F$ -isocristales. ¿Cuál es el significado conceptual de estas subcategorías privilegiadas?

Answer 1

No soy un experto, pero mis comentarios son demasiado largos para caber en la caja de comentarios:

Por lo que yo sé, los "coeficientes" son una categoría bien comportada (por ejemplo, triangulada) con algunas estructuras ricas, a saber, seis operaciones à la Grothendieck:

pull-back, push-forward, tensor product, inner hom, upper and lower shriek.

Se espera que satisfagan varias funtorialidades y adjunciones, que son similares al caso de gavillas de grupos abelianos sobre un espacio topológico.

Estas estructuras permiten al menos conectar coeficientes en diferentes espacios, y así hacer dévissage. Una vez que se entiende bien la categoría de los coeficientes, se puede reducir algún teorema difícil al caso de las curvas, donde todavía hay que trabajar mucho... (Espero que esto responda en parte a la pregunta 1.)

Además, una teoría de cohomología de Weil que no mencionaste es la cohomología cristalina, que coincide con la cohomología rígida para variedades propias lisas. Ahí, según he leído en el estudio de Illusie, falta una categoría satisfactoria de coeficientes. No sé si hay algún desarrollo posterior.