Problema básico de inducción

Question

Para $N \geq 4$ , demuestre que $2^N \geq N^2$ .

Tengo el caso base, $N=K$ y $N=K+1$ pasos, pero estoy atascado en este punto...

$2^K\cdot 2 \geq (K+1)^2$

Gracias.

Answer 1

Ya has hecho el caso base, así que vamos a hacer el paso de inducción.

Hipótesis de inducción: Supongamos que $2^N \geq N^2$ para $N = K$ , donde $K \geq 4$ .

Queda por demostrar que $2^{K+1} \geq (K+1)^2$ . De hecho, observa que: \begin{align*} 2^{K+1} &= 2(2^K) \\ &\geq 2(K^2) &\text{by the induction hypothesis} \\ &= K^2 + (\color{red}{K})K \\ &\geq K^2 + (\color{red}{4})K &\text{since } K \geq 4 \\ &= K^2 + 2K + 2(\color{red}{K}) \\ &\geq K^2 + 2K + 2(\color{red}{4}) &\text{since } K \geq 4 \\ &> K^2 + 2K + 1 &\text{since } 8 > 1 \\ &= (K+1)^2 \end{align*} como se desee. $~~~\blacksquare$

Answer 2

Su última línea no está justificada. No deberías escribir nada que no hayas justificado. En su lugar, puedes escribir "Si $2^K > K^2$ entonces $2^{K+1}$ ...".

Answer 3

Tienes que demostrarlo: $2K^2 \geq (K+1)^2$