¿Alguien conoce el método de Ramanujan para resolver el cuártico?

Question

He leído (probablemente) en el libro de Kanigel El hombre que conocía el infinito que S. Ramanujan ideó su propio método para resolver la Ecuación Cuártica después de haber aprendido a resolver la Ecuación Cúbica. ¿Sabe alguien cuál fue exactamente el método de Ramanujan para resolver la ecuación cuártica?

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Actualización

Ahora se pide aquí en la HSMSE.

Answer 1

Puede encontrarlo en Cuadernos de Ramanujan IV por B. Berndt, Cap. 22 Resultados elementales, Entrada 20 , p.31.

Ramanujan comienza con este problema. Sea $a,b,c,d$ sea arbitraria. Resuelve el sistema,

$$x^2+ay = b\tag{20a}$$

$$y^2+cx = d\tag{20b}$$

Eliminación de $y$ encontramos que es equivalente a,

$$a^2(d-cx) = (b-x^2)^2\tag{20.1}$$

Supongamos sin pérdida de generalidad que $a=2$ . Ampliando esto,

$$x^4-2bx^2+4cx+(b^2-4d)=0\tag{20.1a}$$

Mediante una simple sustitución lineal, la ecuación general del cuarteto puede expresarse en forma deprimida ,

$$x^4+px^2+qx+r = 0\tag{20.1b}$$

Igualar los coeficientes de ${20.1a}$ y ${20.1b}$ tienes un sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas { $b,c,d$ }. Por lo tanto, cada cuartico puede expresarse en la forma ${20.1}$ . El problema entonces es encontrar $x$ . Ramanujan define,

$$x = \alpha+\beta+\gamma\tag{20.1c}$$

$$y = -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$$

$$-c/2 = \alpha\beta\gamma$$

(Si estás familiarizado con las ecuaciones cúbicas, ya verás por dónde va Ramanujan).

Sustituir $x,y,c$ en $(20a)$ y $(20b)$ teniendo en cuenta $a=2$ entonces,

$$x^2+ay = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2= b$$

$$y^2+cx = (\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2 = d$$

$$(-c/2)^2 = (\alpha\beta\gamma)^2$$

Por los polinomios simétricos elementales, concluimos entonces que $\alpha^2,\,\beta^2,\,\gamma^2$ son raíces de la ecuación cúbica,

$$t^3-bt^2+dt-c^2/4=0\tag{20.1d}$$

Por supuesto, al resolver $(20.1d)$ se puede encontrar entonces $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ . Utilizando $(20.1c)$ Entonces concluimos que las cuatro raíces del cuadrado son,

$$x = \alpha+\beta+\gamma, \quad\alpha-\beta-\gamma, \quad-\alpha-\beta+\gamma, \quad-\alpha+\beta-\gamma$$

P.D. Esto es similar al método de Euler en el que resuelve un cuártico como $x_i = \sqrt{y_1}\pm \sqrt{y_2}\pm \sqrt{y_3}$ y el $y_i$ son raíces de una cúbica. En realidad hay una generalización de esto para los solubles 8º grado eqns como $x_i = \sqrt{y_1}\pm \sqrt{y_2}\pm\dots\pm \sqrt{y_7}$ y el $y_i$ son raíces de a 7º grado eqn . Ver esto Puesto de mathoverflow .