Estoy tratando de demostrar el Teorema 1.3A en III.1 de la geometría algebraica de Hartshorne, que dice que $\delta$ -funcionarios $T=(T^i)_{i\geq0}$ con cada $T^i$ borrable/borrable para $i\geq 1$ son universales.
Mi configuración es la siguiente: He dejado que $T$ ser un borrador $\delta$ -como en el caso anterior, y consideró otro $\delta$ -funcionario $\bar{T}$ con una transformación natural $f^0:T^0\implies \bar{T}^0$ entre ellos en el grado cero. Quiero construir las restantes transformaciones naturales $f^i:T^i\implies \bar{T}^i$ . Al no tener muchas herramientas para trabajar, pienso construirlas por componentes, es decir, para cada $A$ en la categoría de origen deseo definir morfismos $f^i_A:T^i(A) \to \bar{T}^i(A)$ .
Creo que he construido la primera transformación natural de este tipo (de forma inductivamente extensible). Dejando que $A \stackrel{\phi}{\hookrightarrow} M$ ser un $T^1$ -Estado de $A$ (es decir, una incrustación tal que $T^1(\phi) = 0$ ), podemos escribir una breve secuencia exacta $$ A \stackrel{\phi}{\hookrightarrow} M \stackrel{\rho}{\twoheadrightarrow} N.$$ A partir de la definición de $\delta$ -y la supuesta existencia de $f^0$ tenemos entonces la siguiente "escalera" con filas exactas: 
donde el morfismo $f^1_A$ es inducido de forma única por la propiedad universal del cokernel $T^1(A)$ de $T^0(M) \to T^0(N)$ .
Mi problema radica en demostrar que dicho morfismo inducido está de hecho bien definido para un determinado $A$ . La construcción parece depender en gran medida del borrado elegido $\phi$ que sería inútil para definir la transformación natural deseada $f^1$ .
Cualquier ayuda es muy apreciada.
