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Teorema del valor intermedio y función continua

Dejemos que $f$ sea una función continua en el intervalo $[-3,7] .$ Supongamos que $f(-1)=5$ , $f(4)=3,$ y $f(6)=6$ .

(a) Demuestre que debe existir un $c \neq-1$ en $[-3,7]$ tal que $f(c)=f(-1)$ .

(b) Demuestre que existe un $d$ en $(-3,7)$ tal que $f^{\prime}(d)=0$ .

Creo que tenemos que utilizar el Teorema del Valor Intermedio para la parte (a) y el Teorema del Valor Medio para la parte (b) . Pero no entiendo cómo utilizarlo.

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user299698 Puntos 96

Sí, tienes razón, esos son los teoremas que necesitamos aquí.

Pista para (a). Aplicar el Teorema del Valor Intermedio a $f$ con respecto al intervalo $[4,6]$ : $f([4,6])\subseteq [3,6]$ .

Pista para (b). Aplique el teorema del valor medio a $f$ con respecto al intervalo $[-1,c]$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?

P.D. La función $f$ debe ser diferenciable en $(-1,6)$ de lo contrario (b) podría ser falso. Por ejemplo, considere $$f(x)=\begin{cases} \frac{3(x-2)}{2} &\text{if $x\geq 2$,}\\ \frac{5(2-x)}{3} &\text{if $x\leq 2$.} \end{cases}$$ Tal $f$ que no es diferenciable en $x=2$ satisface todas las condiciones dadas, pero $f'$ nunca es cero.

3voto

user142385 Puntos 26

Aplicar el PIV al intervalo $[4,6]$ . Desde $f(4) <5$ y $f(6) >5$ existe $c \in (4,6)$ tal que $f(c)=5$ .

La segunda parte requiere la diferenciabilidad de $f$ y es inmediato a partir del teorema de Rolle. Dado que $f(c)=f(-1)$ hay algún punto $d$ en medio con $f'(d)=0$ .

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