Cómo abordar la conjetura suave de Poincare

Question

El último problema que queda en todo este asunto de "todo es una esfera", es el Conjetura de Poincare suave en la dimensión 4: Si $X\simeq_\text{homo.eq.} S^4$ entonces $X\approx_\text{diffeo} S^4$ . Freedman demostró que esto se mantiene si sustituimos "difeomorfismo" por "homeomorfismo", por lo que otro punto de vista sería que $S^4$ no tiene estructuras lisas exóticas.

Reiterado: Si $X$ es un 4manifold liso, cerrado y conectado con $\pi_1X=1$ y $H_*X\cong H_*S^4$ entonces $X\approx_\text{diffeo}S^4$ .

Esto me lo contó Michael Hutchings, quien motivadamente comentó una forma de solucionarlo (Edit: no es una sugerencia original suya):
Encontrar una estructura simpléctica en $X-\lbrace pt\rbrace$ que es estándar cerca del punto de punción.
Entonces hemos terminado por el "Reconocimiento de $\mathbb{R}^4$ ": Que $(M,\omega)$ sea una 4manifolda simpléctica no compacta tal que $H_\ast(M)\cong H_\ast (pt)$ . Supongamos que existen conjuntos compactos $K_0\subset M$ y $K_1\subset\mathbb{R}^4$ y un simplectomorfismo $\phi:(M-K_0,\omega)\to(\mathbb{R}^4-K_1,\omega_\text{std})$ . Entonces $\phi$ se extiende a un simplectomorfismo $(M,\omega)\to(\mathbb{R}^4,\omega_\text{std})$ , después de eliminar conjuntos compactos un poco más grandes.

Ignoro el tamaño de esta pared (la conjetura) y la capacidad de hacer una hendidura en ella. Pero la idea anterior es bastante genial, aunque no sea más útil que el enunciado original. La Conjetura de Poincare (en dimensión 3) se resolvió utilizando la idea de Hamilton del flujo de Ricci. Esto me lleva a preguntar: ¿Se ha propuesto alguna otra idea para abordar esta conjetura? ¿O un intento fallido?

Answer 1

En principio, el flujo de Ricci (con cirugía) también podría utilizarse para demostrar la conjetura de Poincare suave en dimensión $4$ .

Hay algunos problemas importantes que hay que superar en este enfoque (problemas que no se plantearon en la dimensión $3$ (como la ausencia de estimaciones de pellizco de Hamilton-Ivey, y las nuevas singularidades de "pellizco de agujero", en contraposición al "pellizco de cuello") y sé que algunas personas están efectivamente trabajando en estas cuestiones.

Si le interesa, hay bastantes artículos sobre el flujo de Ricci en $4$ -a partir de los trabajos de Hamilton ( aquí y aquí ) y el trabajo más reciente de Chen-Zhu ( aquí y aquí ) y muchos otros.

Answer 2

Me parece que su pregunta supone implícitamente que la conjetura de Poincaré suave en 4D (S4PC) es cierta. Pero si se hiciera una encuesta entre los expertos, creo que la mayoría sospecha que es falsa. (Véase también el comentario de Ryan a la pregunta original.) Hay muchas familias grandes de posibles contraejemplos a la S4PC. Se trata de 4 manifolds lisos que son equivalentes en homotopía (y por tanto homeomorfos) a la 4 esfera, pero nadie sabe cómo demostrar que son difeomorfos a la 4 esfera.

(Akbulut y Gompf han avanzado recientemente en demostrar que algunos, pero no casi todos, de estos potenciales contraejemplos son 4 esferas estándar, por lo que creo que la gente está más abierta a la idea de que el S4PC pueda ser cierto que hace cuatro años).

También se sospecha que hay muchos contraejemplos a la conjetura de Andrews-Curtis, estrechamente relacionada con ella. Andrew Casson tiene algunas pruebas numéricas interesantes (e inéditas) de que la conjetura de AC es falsa.

Así que si estás interesado en este problema, es posible que quieras pasar tanto tiempo tratando de demostrar que uno de los potenciales contraejemplos es un contraejemplo real como tratando de demostrar la conjetura.

Answer 3

La conjetura en cuestión también puede considerarse como la $4$ -La conjetura de Poincare de PL de baja dimensión (porque las variedades de PL de baja dimensión, incluidas las de dimensión $4$ , llevan una estructura lisa única) y así es como se entiende en la mayoría de las referencias que se mencionan a continuación.

Algunas aproximaciones interesantes a la conjetura y sus casos especiales pueden encontrarse en varios trabajos de Frank Quinn (algunos basados en TQFTs y otros de espíritu más clásico) y en algunos trabajos de Robert Craggs.

Gran parte del esfuerzo se ha centrado en la teoría de grupos Andrews-Curtis conjetura, cuya validez implicaría que la homotopía PL (o suave) $4$ -esferas dadas como cuerpos de asas sin $3$ -Las asas son de serie PL (o suavemente). Esta última afirmación también se desprende de la "Propiedad generalizada R" conjetura. Luego hay una industria separada de encontrar presentaciones de cuerpos de asas de los simplemente conectados $4$ -manifolds sin $3$ -(véanse los problemas 4.18 y 4.73 en La lista de Kirby Sección 6 aquí , Gadgil's preimpresión y Quinn's Corolario 3.2 (véase también el artículo retirado de Rasmussen arxiv.org/abs/1005.4674).

Como observó Curtis en un trabajo anterior (en "Topología de los 3 manifolds y temas relacionados"), toda contracción compacta $2$ -poliedro PL se incrusta en alguna homotopía PL $4$ -esfera; así que si encuentras uno que no PL incrusta en $S^4$ , has terminado con la conjetura de Poincare de 4D PL. Esta línea de ataque inspiró cierta literatura sobre incrustaciones PL de acíclicos $2$ -poliedros en $S^4$ comenzando, supongo, con el papel del sombrero de zopenco de Zeeman; ver esta revisión para obtener referencias adicionales.

Hay muchos otros enfoques y técnicas relacionadas, por ejemplo, los "giros de Gluck" y los "corchos de Akbulut". Lista de problemas de Kirby es una buena fuente de referencias adicionales anteriores a mediados de los años 90; se recogen algunas otras referencias básicas sobre la conjetura Andrews-Curtis aquí bajo (O1).