Demuestre que la imagen de un conjunto de medida cero es de medida cero

Question

Vi un tema sobre el tema pero no lo entendí bien, y era un poco antiguo y no quería resucitarlo.

Voy en la dirección correcta, sólo necesito un pequeño empujón.

dejar $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ sea una función suave $C^{\infty}$ (es decir $f$ es continua, diferenciable, y la diferencial de cualquier orden es también continua).

dejar $E \subset \mathbb R^n$ sea un conjunto de medida cero.

Demuestra que $f(E)$ es la medida cero.

Sugerencia: un $C^1$ es lipchitz sobre un conjunto compacto.

Lo que hice:

$E$ es de medida cero, por lo que para todo $\epsilon >0$ hay cajas $U_i$ tal que $E \subseteq \cup_i U_i$ y $\sum_i V(U_i) \leq \epsilon$ (aquí V significa volumen en el sentido de $\mathbb R^n$ ).

Definamos $m(A)$ como la medida del conjunto $A$ . Es evidente que $f(E) \subseteq f(\cup_i U_i)$ y como tal:

$m(f(E)) \leq m(f(\cup_i U_i))$

Ahora asumo que $f$ es lipchitz. y eso significa $m((f(\cup_i U_i)) \leq Km(\cup_i U_i)$

Porque $m(\cup_i U_i) \leq \epsilon$ conseguimos que $m(f(E)) \leq K\epsilon$ desde $\epsilon$ puede ser tan pequeño como queramos, estoy tentado de decir que $f(E)$ es de medida cero pero no estoy del todo seguro.

Pero incluso si lo es. Hice la suposición de que $f$ es lipchitz, pero ¿y si no lo es?

Answer 1

He aquí una solución a su problema: definir $$ E_n = E \cap [-k,k]\times \cdots \times [-k,k] $$ Tenga en cuenta que mientras $f$ puede no ser Lipschitz en general sobre $\Bbb R^n$ es ciertamente Lipschitz sobre el "hipercubo" compacto $[-k,k]\times \cdots \times [-k,k]$ para que $f(E_k)$ es de medida cero. Ahora bien, nótese que $$ f(E) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} f(E_k) $$