Decimos que un espacio dado $X=(X,\|\cdot\|)$ es separable cuando tiene un subespacio denso contable.Lo entiendo a nivel superficial en cuanto a cómo demostramos que un espacio es separable. Pero no soy capaz de entender a nivel abstracto qué es exactamente lo que la propiedad de separabilidad de un espacio señala en el espacio. Por favor, ilumínenme.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Roland
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Mi respuesta no es rigurosa, sino práctica.
Los espacios normados separables son lo suficientemente agradables como para poder demostrar muchas cosas en un subconjunto contable y denso y luego tener la propiedad para todo el espacio mediante un argumento de densidad.
Para los espacios no separables, no basta con considerar un subconjunto contable, lo que dificulta muchos argumentos (o incluso los hace fracasar).
En cuanto a cómo demostrar la separabilidad: Es necesario intuir qué tipo de conjunto puede actuar como base contable para su espacio vectorial (por ejemplo, las secuencias $\{e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots), i=1,\dots\}$ (que tienen el $1$ en el $i$ -) para el $\ell^p$ o polinomios con coeficientes racionales para $C[0,1]$ .
