Qué $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ irreductible, implican $f(2x)$ también irreductible?

Question

Es bien sabido que $f(x+a) \in \mathbb{Z}[x]$ es irreductible al $f(x)$ es irreductible. Me preguntaba si $f(2x)$ y, en general, si $f(nx)$ es irreductible así.

A pesar de que es relativamente fácil encontrar contraejemplos para $f(x^2)$ reducible con $f(x)$ irreductible (considere el $f(x) = x^2+4$), no he sido capaz de encontrar contraejemplos para $f(2x)$.

Traté de escribir $f(2x) = g(x)h(x)$, de modo que $f(x) = g(\frac{x}{2})h(\frac{x}{2})$ que son polinomios en $\mathbb{Q}[x]$. Entonces si $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, a continuación, tal vez de alguna manera $g(\frac{x}{2})$ $h(\frac{x}{2})$ están en $\mathbb{Z}[x]$?

Edit: por "irreductible" me refería a que $f$ no se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes.

Gracias de antemano!

Answer 1

Se hace una diferencia si usted está considerando la irreductibilidad en $\mathbb{Z}[x]$ o en $\mathbb{Q}[x]$.

Un contraejemplo para el primer caso: $f(x) = x$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[x]$, pero $f(2x) = 2\cdot x$ no lo es.

En el segundo caso, su declaración es verdadera para todos los $n\neq 0$, desde entonces $n$ es una unidad en $\mathbb{Q}[X]$, lo $f(x)\mapsto f(nx)$ es un automorphism de $\mathbb{Q}[x]$.

ACTUALIZACIÓN

Después de dar esta respuesta,el siguiente fue añadido a la pregunta

Edit: por "irreductible" quiero decir que f no puede ser escrito como un producto de dos polinomios no constantes.

Primero de todo, este es un poco desafortunado, ya que difiere de la definición establecida de irreductibilidad en el anillo de la teoría.

Sin embargo por Gauss Lema, resulta que su noción de la "irreductibilidad" de un polinomio $f\in \mathbb Z[x]$ es exactamente la misma que la irreductibilidad de $f$$\mathbb Q[x]$, que está cubierto por la discusión anterior.