Evaluación de la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty(\sin\frac1{2n}-\sin\frac1{2n+1})$

Question

Me he aburrido y he encontrado en mi libro un problema de series bastante sencillo, a saber, determinar la convergencia de

$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \left[\sin\left(1 \over 2n\right) - \sin\left(1 \over 2n + 1\right)\right] $$

Hacerlo fue trivial al reescribirlo como una serie alterna que involucra el término $(-1)^k\sin\frac1k$ .

Naturalmente, sin embargo, tenía curiosidad por saber si esta serie puede reducirse a una forma cerrada más sencilla en términos de constantes más fundamentales. Desgraciadamente, no conozco de inmediato ninguna técnica de uso en este caso o incluso si permite una forma tan "bonita". ¿Alguno de ustedes lo sabe?

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Sé, por haber jugado con las sumas de Euler-Maclaurin, que el valor debe ser algo cercano a $0.290674$ . Como $n\to\infty$ Sé que los términos de la secuencia se comportan cada vez más como los de la serie armónica alterna (como $\sin x\sim x$ para $|x|\ll1$ ), lo que ayuda a explicar por qué aparece relativamente cerca de $1-\log2$ . También he comprobado que la diferencia entre ésta y la serie armónica alterna que comienza con $1/2$ está cerca $0.016179$ .

Debo señalar que soy un estudiante de secundaria con un interés amateur en las matemáticas recreativas. Mis conocimientos se extienden sólo hasta el cálculo elemental de múltiples variables y ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer año. Es muy posible que exista un enfoque obvio que se me haya escapado por completo, por lo que me siento obligado a pedir disculpas por adelantado.

Answer 1

$$\sum_{n=1}^\infty \sin\left({1\over 2n}\right)-\sin\left({1\over 2n+1}\right)=-\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n+1}^{1\over 2n}\cos x\, dx$$

Son integrales de una función acotada en los conjuntos

$$\left[{1\over 2n+1},{1\over 2n}\right]$$

La medida de estos conjuntos es

$${1\over 2n}-{1\over 2n+1}={1\over 2n(2n+1)}$$

Por tanto, la suma es absolutamente convergente por la desigualdad de Jensen ya que

$$\left|\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n}^{1\over 2n+1}\cos x\right|\le\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n}^{1\over 2n+1}|\cos x|\le\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n+1}^{1\over 2n}1\;dx=\sum_{n=1}^\infty {1\over 2n(2n+1)}.$$

Answer 2

No puedo dar un valor exacto para la suma de la serie, pero ten en cuenta que el Teorema del Valor Medio nos dice que se puede escribir de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos(\theta_{2n})}{2n(2n+1)},$ donde cada $\theta_{2n} \in (\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n})$ lo que parece significar que difiere de $ 1 - \log2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(2n+1)}$ por algo cercano a $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{32n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{2880}$ (y es menor que esa suma).

Answer 3

Recordemos que si $a_k$ es una secuencia de números reales que converge a $0$ , entonces $\sum_{k=1}^{\infty} \left({a_k - a_{k+1}}\right) = a_1$

Prueba.

Utilizando la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum_{k=1}^{\infty} \left({a_k - a_{k+1}}\right)$ tenemos $S_n =\sum_{k=1}^{n} \left({a_k - a_{k+1}}\right)$

\begin{align*} S_n &=\sum_{k=1}^{n} \left({a_k - a_{k+1}}\right) \\ &= \left({a_1 - a_{2}}\right) + \left({a_2 - a_{3}}\right) + ...+\left({a_{n-1} - a_{n}}\right)+\left({a_n - a_{n+1}}\right) \\ &= a_1 - a_{n+1} \end{align*} y como $a_n \to 0$ entonces $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (a_1 - a_{n+1}) = a_1$ .

Aplicando este hecho para la secuencia $a_k:=\sin (\frac{1}{2k})$ , obtenemos que
\begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sin \frac{1}{{2n}} - \sin \frac{1}{{2n + 1}}} \right)} = \sin \left( {\frac{1}{2}} \right) \end{align*}