¿Hay alguna manera de encontrar la holomorfía o la independencia de la trayectoria sin utilizar el teorema de Cauchy o de Morera?

Question

Según el teorema de la integral de Cauchy, una función holomorfa en un dominio simplemente conectado es independiente del camino. Según el teorema de Morera, una función continua e independiente del camino es holomorfa. En otras palabras, cada una implica a la otra.

Pero eso plantea la pregunta, ¿hay alguna manera, algún teorema, para encontrar cualquiera de los dos fácilmente? En el conjunto real, el operador de rizo se puede utilizar para encontrar la independencia del camino, por ejemplo.

Answer 1

Sí, una función compleja diferenciable $f$ de una variable compleja es holomorfa si y sólo si la Cauchy-Riemann las ecuaciones se mantienen. Son totalmente análogas a la desaparición del rizo.