Si Darboux (equivalente a Riemann), ¿entonces Lebesgue?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea compacto, defina $$D^+(f):= \inf\left\{\int t:t\geq f, t= \text{step function}\right\}$$ $$D^-(f):= \sup\left\{\int t:t\leq f, t= \text{step function}\right\}$$ Si $D_+(f)=D_-(f),$ llamamos $f$ Darboux integrable (equivalente a Riemann integrable) y el valor común la integral de Darboux de $f$ .

¿Cómo podría demostrar que si $f$ es integrable por Darboux, entonces $f$ es integrable en Lebesgue, y $D^+(f)=D^-(f)=\int f$

Answer 1

Para un intervalo acotado considere WLOG $f :[a,b] \to \mathbb{R},$ una función integrable de Riemann no negativa. Entonces

$$\int_a^b f(x) \, dx = \sup_{\phi \leqslant f} \int_a^b\phi(x) \, dx = \inf_{\psi \geqslant f} \int_a^b\psi(x) \, dx ,$$

donde $\phi$ y $\psi$ son funciones escalonadas. Esto es sencillo de demostrar utilizando sumas e integrales superiores e inferiores de Darboux.

Como toda función escalonada es una función simple, tenemos para las funciones simples $\hat{\phi}$ y $\hat{\psi}$

$$D^-(f) = \sup_{\phi \leqslant f} \int_a^b\phi(x) \, dx \leqslant \sup_{\hat{\phi} \leqslant f} \int_{[a,b]}\hat{\phi} \leqslant \inf_{\hat{\psi} \geqslant f} \int_{[a,b]}\hat{\psi} \leqslant \inf_{\psi \geqslant f} \int_a^b\psi(x) \, dx = D^+(f),$$

y la integrabilidad de Riemann, $D^-(f) = D^+(f),$ implica la integrabilidad de Lebesgue con

$$\sup_{\hat{\phi} \leqslant f} \int_{[a,b]}\hat{\phi} = \int_{[a,b]}f= \int_a^bf(x) \, dx .$$

Lo contrario no es cierto. La integrabilidad de Lebesgue en un intervalo acotado no implica la integrabilidad de Riemann. La función de Dirichlet es un contraejemplo.