Una prueba elemental de que $k[x,y]/(xy-1)\cong k[x]_x$ , donde $k$ es un campo

Question

Dejar $\phi:k[x,y]\to k[x]_x$ , $\phi(x)=x$ , $\phi(y)=\frac{1}{x}$ vemos que $\ker \phi$ es primo, y $(1-xy)\subseteq\ker\phi$ . Ahora, dado que $k[x,y]$ tiene dimensión Krull 2, $\ker\phi\neq (1-xy)$ implicaría que $0\subsetneq (1-xy)\subsetneq\ker\phi$ y por lo tanto $\ker\phi$ es un ideal máximo, por lo que $k[x]_x$ es un campo, que se comprueba fácilmente que es falso, y por lo tanto $k[x,y]/(1-xy)\cong k[x]_x$ . Sin embargo, me preguntaba si había alguna forma de demostrarlo utilizando sólo métodos elementales.

Editar:

Reclamación: $k[x]_x$ no es un campo.

Prueba: Supongamos que $x-1\in k[x]_x$ es invertible. Entonces dejemos que $\frac{1}{x-1}=\frac{f(x)}{x^n}$ Por lo tanto $x^n= f(x)(x-1)$ sur $k[x]$ Por lo tanto $1^n=1=0$ una clara contradicción.

Answer 1

Dejemos que $R$ ser un $k$ -y el álgebra $f\colon k[x]\to R$ ser un $k$ -homomorfismo de álgebra donde $f(x)=r$ es invertible. Queremos ver que existe un homomorfismo único $\hat{f}\colon k[x,y]/I\to R$ , $I=(xy-1)$ , de tal manera que $\hat{f}\circ p=f$ , donde $$ p\colon k[x]\to k[x,y]/I \qquad p(x)=x+(xy-1) $$ Definir $g\colon k[x,y]\to R$ por $g(x)=r$ y $g(y)=r^{-1}$ . Entonces $$ g(xy-1)=0 $$ demostrando que $\ker g\supseteq I$ . Así, $g$ induce una $k$ -de álgebra como se requiere.

La singularidad de $\hat{f}$ es evidente, porque $\hat{f}(x+I)=r$ y $\hat{f}(y+I)=r^{-1}$ porque $\hat{f}\bigl((x+I)(y+I)\bigr)=\hat{f}(1+I)=1$ ; $\hat{f}$ está completamente determinada por la acción sobre los generadores.

Desde $k[x,y]/I$ satisface la propiedad universal del anillo de fracciones con respecto al conjunto multiplicativo $\{x^n:n\ge0\}$ , es es el anillo de fracciones.

Answer 2

Una cosa obvia que hay que intentar es definir $\psi:k[x]_x \rightarrow k[x,y]/(xy-1)$ , $\psi(\frac{f(x)}{x^n}) = \overline{f(x)y^n}$ (el RHS es una clase de equivalencia en el anillo cociente). Tendrás que demostrar que $\psi$ está bien definida, es un homomorfismo y es la inversa de $\phi$ .

Answer 3

Supongamos que $f(x,y) \in k[x,y]$ es un polinomio tal que $f(x, \frac{1}{x}) = 0$ .

Entonces $f(x,y)$ es un polinomio en $y$ sobre el dominio de factorización único $k[x]$ que tiene una raíz en $y = \frac{1}{x}$ y, por tanto, es divisible por $(xy-1)$ .

En consecuencia, el conjunto de todos los polinomios $f(x,y) \in k[x,y]$ tal que $f(x, \frac{1}{x}) = 0$ es precisamente $(xy-1)$ y así $f(x,y) \mapsto f(x,\frac{1}{x})$ da un isomorfismo $k[x,y] / (xy-1) \to k[x]_x$ .