Operadores y sus estados propios en la mecánica cuántica

Question

Supongamos que un estado cuántico $|\Psi\rangle$ viene dada por $|\Psi\rangle = \Sigma_{i=1}^{n}\alpha_{i}|\psi_{i}\rangle$ donde cada $|\psi_{i}\rangle$ es un estado propio de un operador hermitiano $M$ y $\sum_i\vert \alpha_i\vert^2=1$ .

En general, $|\Psi\rangle$ no sería un estado propio de $M$ para $n>1$ . Entonces podemos saber (de alguna manera sistemática) si existe un operador hermitiano, digamos, $M^*$ de los cuales $|\Psi\rangle$ es un estado propio? ¿Y existe alguna relación interesante entre $M$ y $M^*$ ¿en ese caso?

Answer 1

Entonces, ¿cómo encontrar un operador lineal M* del que $|\Psi\rangle$ es un estado propio?

Suponiendo que M es un operador "normal" (más adelante), no sabemos nada sobre lo que $|\Psi \rangle$ es ahora mismo, así que sólo hay que resolver la ecuación

$$M^* |\Psi \rangle = \lambda |\Psi \rangle$$

como siempre. El hecho de poder escribir $\Psi$ en términos de los estados propios de M no significa nada sobre $\Psi$ porque los estados propios de un operador normal forman una base para todos los vectores. Así que podríamos escribir cualquier vector así.

Pongo esto en negrita sólo porque es el núcleo de lo que creo que te falta. Y es también por eso que no habría razón para una relación entre $M$ y $M^*$ .

Sobre los operadores normales (editar): Un operador es "normal" si tiene $[M, M^{\dagger}] = 0$ . Casi todos los operadores que utilizamos en QM son normales en este sentido:

• Cualquier operador hermitiano es normal
• Cualquier operador unitario es normal
• Cualquier operador diagonalizable es normal (de hecho, normal $\iff$ diagonalizable)

Parece que estás hablando de un operador normal ya que has escrito lo que parece una suma de vectores base, en cuyo caso $M$ sería diagonalizable. Pero en caso de que no lo fuera, hay operadores no normales ocasionales en QM, como los operadores de creación/aniquilación. La respuesta que he dado más arriba no se aplicaría a estos. Dicho esto, para los operadores no normales, no creo que haya ninguna relación útil entre sus estados propios ( $\psi_i$ ) y un operador $M$ que tiene como estado propio algún vector $\Psi$ que se encuentra en el intervalo de sus estados propios del $\psi_i$ (uf... qué bocado). La relación es demasiado confusa.

Answer 2

Como dice doublefelix, el hecho de que $\vert \Psi\rangle$ es una superposición de $\vert \psi_i\rangle$ no significa nada. Si $M$ fuera un operador normal, cualquier vector podría escribirse así.

Además, tenga en cuenta que $M^*$ ni siquiera está definida de forma única por la condición de tener $\vert \Psi\rangle$ como un estado propio. Por ejemplo $M^*_1 = \lambda \vert \Psi \rangle \langle \Psi\vert$ es una solución para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ . Otra sería $M^*_2 = \lambda \vert \Psi \rangle \langle \Psi\vert + \lambda' \vert \Psi^\perp\rangle \langle \Psi^\perp\vert$ , donde $\vert \Psi^\perp\rangle$ es cualquier vector ortogonal a $\vert\Psi\rangle$ . De hecho, cualquier operador de la forma $$M^* = \lambda \vert \Psi \rangle \langle \Psi\vert +P,$$ sería una opción válida para $M^*$ para cualquier operador $P$ que tiene $\vert\Psi\rangle$ en su núcleo. Esto se puede ver fácilmente calculando $M^*\vert \Psi\rangle$ : \begin{align} M^*\vert\Psi\rangle &= \big(\lambda \vert \Psi \rangle \langle \Psi\vert +P\big)\vert\Psi\rangle\\ &= \lambda \vert \Psi \rangle+P\vert\Psi\rangle\\ &= \lambda \vert \Psi \rangle. \end{align}