Dado un número entero cualquiera $n$ suficientemente grande, quiero demostrar (o refutar) que existe otro número entero $m\ge n$ con la forma $m=2^a3^b$ ( $a,b$ no son enteros negativos) tal que $m-n=o(n)$ es decir, $n$ puede aproximarse mediante $m$ .
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Void
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Arreglar $\varepsilon>0$ . Tenemos que demostrar (para un tamaño suficientemente grande $n$ ) que existen enteros no negativos $a,b$ tal que $\log_2 n\leqslant a+b\log_2 3<\log_2 n+\varepsilon$ . Esto se deduce del hecho de que las partes fraccionarias de $b\alpha$ , $\alpha:=\log_2 3$ son densos en $(0,1)$ . En efecto, elija enteros no negativos $b_1,\dots,b_k$ para que las partes fraccionarias de $b_i\alpha$ formar un $\varepsilon/2$ -red de $[0,1]$ . Entonces podemos elegir $b\in\{b_1,\dots,b_k\}$ y un número entero apropiado $a$ . Este $a$ es positivo siempre que $n$ es lo suficientemente grande.
Linulin
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Creo que reemplazar $o(n)$ por $O(n^a)$ para $0 < a < 1$ contradice la $abc$ conjetura. Fijar pequeños naturales $b$ coprima a $6$ (decir $5$ ) y establecer $n=b^k$ para la naturaleza $k$ .
En el abc triple $(m-n,n,m)$ el radical es $O(n^a)$ mientras que $c$ es $b^k$ , dando una calidad fija de $\frac1a > 1$ infinitamente a menudo como $k$ varía (2,3 y $b$ no aportan esencialmente nada al radical).
Esto no excluye los límites de la forma algo como $n/\log{n}$ pero sospecho que la respuesta a la pregunta es negativa.
