¿Por qué la ampliación del grado $2$ siempre _Galois_ $?$

Question

$E$ es cualquier campo arbitrario con char $\neq 2$ . Y $F$ es una extensión de $E$ tal que $[E:F]=2$ . Entonces $E/F$ es Galois extensión .

Dado que el grado es $2$ el polinomio irreducible de cualquier elemento de $E$ es cuadrática : $$ax^{2}+bx+c$$

Ahora dando $x$ una traducción de $\ \ ({-}{{a}\over {2}})\ \ $ reduce el polinomio a la forma _:_ $$x^{2}-d$$

Así que $d$ y $-d$ son dos raíces del polinomio y se divide en $E$ . Por lo tanto, $E/F$ es Galois .

Pero en ninguna parte de la prueba utilicé el hecho de que $char(F)\neq 2$ o el concepto de característica de los campos en absoluto . Entonces la prueba es correcta $?$ .

Si es así, ¿por qué tenemos que mencionar que char ( $F$ ) $\neq2$ $?$ Para qué sirve $?$

Realmente necesito una aclaración sobre esta parte .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

En la característica $2$ hay dos posibilidades para una cuadrática irreducible $X^2+aX+b$ . Si $a=0$ entonces la extensión es inseparable, y por lo tanto no es de Galois. Si $a\ne0$ entonces la extensión es separable, y Galois, porque si $z$ es una raíz, la otra raíz es $a+z$ , por lo que su factorización sobre $k(a)$ es $(X+z)(X+a+z)$ .