Un problema de un número infinito de bolas y una urna

Question

Creo que el problema se originó en una probabilidad de libros de texto :

Usted tiene un countably fuente infinita de bolas numeradas a tu disposición. Todos ellos están marcados con los números naturales {1,2,3,...}. A las 11h30, poner en la urna las bolas etiquetados de 1 a 10, y luego a la derecha después de quitar la pelota de la etiqueta 1. Luego, a las 11h45, poner en la jarra de bolas de 11 a 20, y quitar la bola número 2, etc. En general en $\frac{1}{(2^n)}$ horas antes de la medianoche, se puso en bolas $(n-1)10+1$$10n$, y quitar la bola etiquetados $n$.

La pregunta es : ¿cuántas bolas se quedan en la urna (o después) de la medianoche? (que es, después de un countably número infinito de pasos).

Sé que la mayoría aceptó la respuesta a esta pregunta es que a la medianoche no hay pelotas a la izquierda en la urna, porque si usted se considera balón $n$, usted sabe que ha sido retirado de la urna $\frac{1}{(2^n)}$ horas antes de la medianoche, y no ha sido volver a poner en ningún paso posterior. Por lo tanto no puede haber ningún bolas en la urna a la medianoche.

Sé que el hecho de que este problema es muy contrario a la intuición es, probablemente, que no está redactado en cualquier sistema axiomático, de modo que usted puede tener varias interpretaciones de la respuesta. Sé que el anterior razonamiento implica que después de la medianoche, no puede haber ningún bolas en la urna que tienen un número natural de ellos, y también sé que no son sólo las bolas con naturales contados etiquetas disponibles, lo que implicaría que la jarra esté vacía, pero aún así no es muy convincente.

considere el siguiente problema diferente : En el inicio, hay una bola en la jarra de la etiqueta 1. Luego, en el primer paso, quitar la bola 1 y poner en bola de 2 al mismo tiempo. A continuación, quitar la bola 2 y poner en bola 3, etc... Hay una bola en la jarra, en cualquier momento, así que sin duda todavía debe ser de la bola de la urna a la medianoche, pero no puede tener una natural-etiqueta numerada. Considere también las siguientes : en el anterior problema, después de la eliminación de la bola #2 en el segundo paso, pero de nuevo la pelota #1. A continuación, en el siguiente paso quitar la bola 1 y poner en la bola 2, etc. A la medianoche no hay manera de saber si el balón está marcado 1 o 2. (probablemente debido a que el límite de la serie de $(-1)^n$ no existe?)

Mi pregunta es: ¿hay alguna más satisfactoria para formalizar este problema, o para explicar lo que iba a resolver la paradoja de que el número de bolas en la jarra obtiene constantemente más grande, nunca disminuye, y que al final no hay nada a la izquierda en la urna?

Answer 1

Una buena manera de formalizar el problema es describir el estado de la jarra no como un conjunto (un subconjunto de N), porque esos son difíciles de aceptar los límites, pero como su función característica. La primera "paradoja" es que pointwise límites no son el mismo uniforme de los límites. Más tarde puede ser "resuelto" mediante la ampliación de la noción de "límite" de diversas maneras, la mayoría de los cuales fueron inventados por Euler. Véase por ejemplo el libro de Divergente la Serie por Hardy.

Answer 2

Usted está describiendo lo que se conoce como un supertask, o tarea que implica una infinidad de pasos, y hay numerosos ejemplos interesantes. En un anterior MO respuesta, para ejemplo, he descrito una entretenida ejemplo acerca de la lidiar con el Diablo, que es similar a su ejemplo. Permítanme mencionar un par de ejemplos adicionales aquí.

En el artículo "Una hermosa supertask"(Mente, 105(417):81-84, 1996), el autor considera Laraudogoitia la situación con la física Newtoniana en la que hay infinitamente muchas bolas de billar, obteniendo progresivamente más pequeño, con el $n^{th}$ balón colocado en $\frac1n$, convergiendo a $0$. Ahora, set de bolas $1$ en movimiento, la que golpea a la bola 2 en un de manera que toda la energía se transfiere a la bola 2, que golpea a la bola 3 y así sucesivamente. Todas las colisiones tienen lugar en tiempo finito, debido a las posiciones de las bolas, y así el movimiento disappers en el origen; en un tiempo limitado después de las colisiones se han completado, todas las bolas son estacionarias. Por lo tanto:

• A pesar de que cada paso de un sistema físico es la conservación de energía, el sistema como un todo no está de conservación de energía en el tiempo.

La conclusión general es que uno no puede esperar a probar el principio de conservación de la energía a lo largo del tiempo sin integridad suposiciones acerca de la naturaleza de el espacio, el tiempo y el espacio-tiempo.

Un ejemplo similar tiene las bolas espaciados hasta el infinito, y esta vez las colisiones están dispuestas de modo que las bolas se mueven más rápido y más rápido a infinito (utilizando Newtoniana la física), completando su progresiva de las interacciones rápidas en lo finito de tiempo total. En en este caso, una vez más, un sistema físico de conservación de energía en cada paso no parece ser de conservación de energía a lo largo del tiempo, y la energía parece se han filtrado de distancia hasta el infinito. La cosa interesante acerca de este ejemplo es que uno se puede imaginar ejecución en a la inversa, en efecto obtención de energía a partir de infinito, donde el bolas de repente empiece a moverse hacia nosotros desde el infinito, sin ninguna aparente violación de la conservación de energía en cualquier interacción.

Otro ejemplo utiliza la física relativista. Supongamos que usted quieren resolver existencial número de la teoría de la pregunta, de la forma $\exists n\varphi(n)$. En general, este tipo de declaraciones son verificados por un único ejemplo numérico, y hay en principio no hay manera de conseguir un sí-no respuesta a tales preguntas en tiempo finito. Lo que hay que hacer es entrar en un nave espacial y volar alrededor de la tierra, mientras que el posgrado estudiante---y sus estudiantes graduados, y así sucesivamente en perpetuidad---busca un ejemplo adicional, con el de acuerdo en que si un ejemplo es que se ha encontrado, a continuación, una señal será enviado a su cohete. Mientras tanto, usted debe acelerar unboundedly cerca de la velocidad de la luz, de tal un camino que ya relativista de la contracción del tiempo, el la eternidad en la tierra corresponde a sólo un tiempo finito en el el cohete. De esta manera, sabrá la respuesta es finito tiempo. Con los cohetes que vuelan alrededor de los cohetes, uno puede, en principio de aprender la respuesta a la aritmética declaración en tiempo finito. Hay, por supuesto, de numerosos problemas relacionados con esta historia, comenzando con el hecho de que la ilimitada energía es necesario por el tiempo requerido escorzo, pero sin embargo Malament-Hogarth spacetimes puede ser construido para evitar estos problemas, y permiten que un solo observador tenga el acceso a un tiempo infinito de la historia de otra persona.

Estos ejemplos hablan de un posible e intrigante argumento en contra de la tesis de Church-Turing, basado en la idea de que no puede ser no realizadas poder computacional derivadas de el hecho de que vivimos en una mecánica cuántica relativista mundo.

Answer 3

La segunda parte es la paradoja de Thomson de la lámpara, que puede ser formalizada como una forma de pensar acerca de la serie de Grandi $\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}$. Este es un buen resumen; se puede argumentar "la suma es de 1/2" o "no hay ninguna suma", basada en la formalización utilizado.

Para algunos filósofos, este es un buen ejemplo de que la operación anterior no ocurre en la vida real (que no es necesariamente irrelevante, ya que incide en que los modelos de espacio y tiempo son válidos). La investigación generalmente cae bajo el título de "supertasks".

A la dirección de la formalización de la primera parte del problema, yo prefiero el análogo

$\sum_{n=0}^{\infty}{10} - \sum_{n=0}^{\infty}{1}$

así que en lugar de considerar la serie

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...

de lo que estamos pensando

10 - 1 + 10 - 1 + 10 - 1 ...

aunque sin duda hay otras maneras. Uno puede tratar de obtener la continuación de la función de $f(1-\frac{1}{2^n})=9n$ a partir de [0,1] el uso de Alexandroff compactification de los números reales. Esto le da a la respuesta de "infinito", aunque no estoy muy interesado en esta formalización debido a que elimina la iterativo en el sentido de que el problema original.

Me parece tales paradojas a ser más útiles (para los matemáticos) pedagógicamente, porque permite a los estudiantes aplicar sus matemático intutition y darles un poco de inversión antes de formalizar su manejo de infinito.

Answer 4

Hay una paradoja que implican la serie 1-1+1-... los términos pueden ser agrupados en pares, cada par de suma cero (1-1)+(1-1) o no es la siguiente reagrupamiento 1+(1+1) -1 +(1+1=1+1)-(1+1)... que cada par de series siguientes +2^k queridos menos 2^k-1 comenzando desde k=3 y continuar hasta el infinito. Esta agrupación va a producir el mismo patrón que las de su problema. Esto implica la reagrupación una serie infinita para cambiar los valores. Esto está relacionado con Riemann teorema de las series que si una infinita serie es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser dispuestas de modo que la serie converge para cualquier valor dado, o diverge. ver los siguientes enlaces para obtener más información:

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem

Answer 5

Este procedimiento es muy común en las matemáticas en general, especialmente en construcciones inductivas. Normalmente uno no grita "paradoja!" al ver una función en el conjunto de los enteros positivos se define recursivamente como por ejemplo, $f(1)=1$, $f(a)=f([a/2])+1$. Pero vamos a pensar en ello de esta manera. Tenemos una máquina que calcula los valores. Después de cada cálculo, ponemos los valores que puede ser calculado de la siguiente en la cola. En el primer paso nos conocemos $f$$1$, por lo que la cola se compone de 2 y 3. Después de servir a 2, la cola se convierte en 3,4,5. Después de servir 3, se convierte en 4,5,6,7, y así sucesivamente. Qué horror: los números más nos han servido, más largo que la cola se convierte, así que al final tendremos, probablemente, tiene una infinidad de números que todavía necesitan ser calculadas!

Es muy curioso cómo uno se traga estas cosas, cuando ellos no son señalados de largo argumentos y cómo se encuentran "paradójico" e "increíble" cuando se presentan en su forma pura.

En cuanto a "que ocurren en la vida real", acaba de reafirmar el de la paradoja de Zenón como "Después de llegar a la mitad del camino, usted todavía necesita para llegar a 5/8, 6/8 y 7/8 de la forma. Después de alcanzar el 5/8 marca, usted necesita para llegar a 41/64, 42/64, ... , 63/64. Y así sucesivamente. En esta versión, la conclusión es que no sólo va a nunca llegar a la final, pero va a estar más lejos y más lejos con cada paso.

Me pregunto cuántas personas se dan cuenta de que esta podría ser una de las cosas que la Reina negra decir cuando ella le dijo a Alice que "Aquí tienes que correr tan rápido como usted puede simplemente quedarse donde está y si usted desea conseguir anywere otra persona, es necesario ejecutar dos veces más rápido".