Paseo aleatorio por un cuadrado

Question

Problema :

Dado un cuadrado $ABCD$ , $AB$ siendo un vértice horizontal, comenzamos en $A$ . Con cada paso, nos movemos a otra esquina:

• horizontalmente con una probabilidad $p$
• verticalmente con una probabilidad $q$
• a la esquina opuesta (a lo largo de la diagonal) con una probabilidad $r$ .

¿Cuál es la probabilidad, después de $n$ pasos, para estar en $A$ , $B$ , $C$ o $D$ ?

Intento de encontrar una solución :

Si $A_n$ etc. denota la probabilidad de estar en $A$ etc. antes de la $n$ -ésima etapa, y si $$ X_n = (A_n, B_n, C_n, D_n) $$ encontramos una relación $X_{n+1} = X_n \cdot M$ con $$ M = \left (\begin{array}{cccc} 0&p&r&q\\ p&0&q&r\\ r&q&0&p\\ q&r&p&0 \end{array} \right ). $$ Esta matriz es simétrica, por lo que se puede diagonalizar. Pero, parece que puede ser demasiado complicado de hacer.

Preguntas :

• ¿Me estoy perdiendo otro argumento? Sabemos que $p+q+r=1$ Por supuesto. Y sabemos que $A_n+B_n+C_n+D_n=1$ pero no creo que simplifique la dificultad de la diagonalización.
• Es $M$ ¿fácilmente diagonalizable? $1$ es un vector propio para el valor propio $1$ .

Answer 1

Abusando de la tecnología (Mathematica) conseguí $$P=\left (\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\ a&b&-c&-d\\ a&-b&c&-d\\ a&-b&-c&d \end{array} \right )$$

De tal manera que $P^{-1}\cdot M\cdot P$ era diagonal.

No estoy seguro de lo divertido que sería intentarlo a mano.

Answer 2

Dadas las simetrías actuales, yo llamaría a esto un paseo aleatorio en un tetraedro.

Su matriz tiene los valores propios $$1, \quad 2p-1, \quad 2q-1, \quad 2r-1\tag{1}$$ con los correspondientes vectores propios $$(1,1,1,1),\quad(1,1,-1,-1),\quad(1,-1,-1,1),\quad(1,-1,1,-1)\ .\tag{2}$$ No me preguntes cómo lo he descubierto. Parece que @IanMiller en su respuesta insinúa $(2)$ y que @achillehui (ver su comentario) podría explicar una ruta directa a este resultado.

De todos modos, empezando por $(1)$ y $(2)$ y al pasar por el aro uno se encuentra con $$\eqalign{ A_n&={1\over4}\bigl(1+(2p-1)^n+(2q-1)^n+(2r-1)^n\bigr)\cr B_n&={1\over4}\bigl(1+(2p-1)^n-(2q-1)^n-(2r-1)^n\bigr)\cr C_n&={1\over4}\bigl(1-(2p-1)^n-(2q-1)^n+(2r-1)^n\bigr)\cr D_n&={1\over4}\bigl(1-(2p-1)^n+(2q-1)^n-(2r-1)^n\bigr)\cr}$$