¿Qué ecuaciones diferenciales permiten una formulación variacional?

Question

Muchas EDO y EDP que surgen en la naturaleza tienen una formulación variacional. Un ejemplo de lo que quiero decir es el siguiente. Los movimientos clásicos son soluciones $q(t)$ a la ecuación de Lagrange $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L(q,\dot q)}{\partial\dot q}=\frac{\partial L(q,\dot q)}{\partial q}, $$ y estos son puntos críticos de la funcional $$ I(q)=\int L(q,\dot q)dt. $$ Por supuesto, hay que ser preciso con lo que se considera una solución a ambas ecuaciones. Esto equivale a especificar la regularidad y el dominio del funcional. Este ejemplo es una EDO, pero también son posibles muchos ejemplos de EDP (por ejemplo, el electromagnetismo, o teorías físicas más exóticas). Una vez que se conoce una descripción variacional del problema, hay muchos más métodos disponibles para resolverlo.

Ahora no espero que cualquier EDP o EDO pueda ser vista (incluso formalmente) como un punto crítico de un funcional de acción adecuado. Esto se debe a que todo este montaje me recuerda a la cohomología de De Rham: "qué formas únicas (las ecuaciones diferenciales) son exactas (es decir, las $d$ de un funcional)?". La última frase no es correcta, pero la analogía quizás sí lo sea. En cualquier caso, mi pregunta es:

¿Existe algún criterio para determinar si una ecuación diferencial dada admite una formulación variacional?

Answer 1

Otros dan referencias útiles que discuten lo que se sabe sobre la respuesta, pero ninguna declaración de la respuesta en sí. El escenario algebraico relevante es el bicomplejo variacional, que se discute en los trabajos de Anderson y otros. En este entorno, hay dos diferenciales, la diferencial horizontal $d_H$ (que representan las derivadas con respecto a las variables independientes como $t$ ) y el diferencial vertical $d_V$ (que representan las derivadas variacionales con respecto a las variables dependientes como $q(t)$ ). Cada una de estas diferenciales es "de Rham" y anticonmutan entre sí, lo que explica el sabor cohomológico de la respuesta. Un enunciado aproximado de la respuesta es el siguiente.

Un lagrangiano $L$ da lugar a un conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange $E_i=0$ de la siguiente manera: $$ d_V L = E_i ~ d_V q^i - d_H\theta , $$ es decir, la forma 1 vertical $E_i ~ d_V q^i$ es verticalmente exacta (hasta un término horizontalmente exacto $d_H \theta$ ). Por lo tanto, es necesario para $E_i=0$ para ser el sistema de Euler-Lagrange de algún lagrangiano que $E_i ~ d_V q^i$ se cierra hasta un término horizontalmente exacto, a saber $$ d_V(E_i~d_V q^i) = d_H \theta' (= -d_H d_V \theta) . $$ De hecho, la misma condición es también suficiente hasta los obstáculos relacionados con la topología global de la variedad donde las variables dependientes $q$ toman sus valores. Esta condición ya fue formulada clásicamente por Helmholtz .

Sin embargo, la afirmación anterior es restrictiva, ya que sólo responde a la pregunta cuando $E_i=0$ ya está en forma de Euler-Lagrange. Sin embargo, hay muchas transformaciones que se pueden aplicar al sistema $E_i=0$ que da un sistema equivalente $F_a=0$ . Dado sólo el sistema $F_a=0$ ¿es posible decidir si es equivalente a algún sistema $E_i=0$ en forma de Euler-Lagrange? Este es el problema inverso difícil (también conocido como el problema del multiplicador ). El único resultado general que conozco en ese sentido es este.

Si existe una forma $\omega$ de grado vertical 2 y horizontal $n-1$ , donde $n$ es el número de variables independientes, tal que es horizontal y verticalmente cerrado modulo las ecuaciones $F_a=0$ (a saber $d_V \omega = A^a F_a$ y $d_H \omega = B^a F_a$ ), entonces existe (de nuevo, hasta los obstáculos topológicos globales) una densidad lagrangiana $L$ cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange $E_i=0$ equivalen a un subsistema de $F_a=0$ .

Que yo sepa, la observación anterior apareció por primera vez en Henneaux ( AnnPhys 1982) para ODEs y en Bridges, Hydon & Lawson ( MathProcCPS 2010) para las EDP. El cálculo que demuestra esta observación se da con un poco más de detalle en este Página de nLab . ( Editar: A riesgo de hacer una autopromoción desvergonzada, señalaré también que he recogido estas observaciones en un documento independiente ( arXiv ; JMP , 2013).)

Reduce la solución del problema inverso difícil a la clasificación de todas esas formas $\omega$ (correspondiente al llamado cohomología característica del bicomplejo variacional restringido a $F_a=0$ en el grado correspondiente) y comprobar que existe un candidato que da lugar a una densidad lagrangiana cuyo sistema de Euler-Lagrange $E_i=0$ equivale a la completo sistema $F_a=0$ . El cálculo de la correspondiente cohomología característica del sistema $F_a=0$ sigue siendo no trivial, pero existen formas de atacarlo, entre las que se encuentra la de Vinogradov $\mathcal{C}$ -secuencia espectral mencionada en otras respuestas.

Answer 2

Hay una enorme cantidad de literatura sobre este problema. Incluyo algunas obras que parecen "clásicas" y que he consultado en algún momento:

Tulczyjew: http://www.springerlink.com/content/u9481124734547t6/ 105_419_0">http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF\_1977\_ 105 _419_0

Takens: http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jdg/1214435235

Y el trabajo de Anderson sobre el bicomplejo variacional (creo que este complejo fue introducido por I.M. Gelfand hacia 1970).

También hay un buen trabajo de Vinogradov y su escuela (la secuencia espectral C). Todo esto son principalmente aplicaciones del álgebra homológica a la teoría de las EDP.

Answer 3

Recuerdo que una vez me pregunté ociosamente sobre esto y descubrí que El trabajo de Anderson sobre el bicomplejo variacional satisfizo mi ociosa curiosidad.

Answer 4

Bien, este es un problema clásico conocido como "El problema inverso en el cálculo de variaciones". Hay una gran cantidad de referencias sobre el problema que puede buscar en Google. El problema como si el sistema $y_i''=F(x,y_j,y_j')$ , $i=1,2,..,n$ pueden identificarse con los extremos de la ecuación $\int \phi(x,y_j,y_j') \rightarrow min$ equivale a resolver el sistema de pdes para las derivadas parciales de $\phi$ , digamos que $\phi_{ij}$ . Davis [1928] replanteó el problema como el de encontrar un factor integrador $P_{ij}$ de manera que el sistema $P_{ij}(F_j-y_j'') = E(\phi)$ donde $E$ denota el operato de Euler-Lagrange. Aparece alguna condición de auto-unión El caso $n=2 $ fue resuelto por el primer medallista de campo Jesee Douglas (1941). Utilizó la teoría de Riquier-Janet. Para $n>2$ sigue siendo posible, salvo en casos engorrosos. Spencer y Quillen introdujeron la cohomología de Spence para dar condiciones suficientes para que el sistema sobredeterminado sea integrable. Algunas referencias: 1) El problema inverso en el cálculo de variaciones W. Sarlet, G. thompson, G.E. Prince. TAMS 354, Num.7, 2897-2919, 2002. 2) Sistemas sobredeterminados de EDP lineales. D.C. Spencer., 1969 (siento no tener la referencia completa a mano). 3)J. Douglas. Solution to the inverse problem of the calculus of variations. TAMS 50 (1941), 71-128. El profesor Peter Olver (Universidad de Minnesota) es probablemente una de las mayores autoridades en el tema.