Encontrar los extremos locales de $x^3-\sqrt{4x}$

Question

Tengo una pregunta que pide encontrar todos los extremos locales para la siguiente función $$f(x)=x^3-\sqrt{4x}$$

Empecé por encontrar el cálculo de la primera derivada: $$f'(x)=\frac{3x^{5/2}-1}{\sqrt{x}}$$ $f'(x) = 0$ si $x=\left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}$ . También, $f'$ no se define cuando $x=0$ . Al encontrar los extremos locales, ¿incluyo $x=0$ ?

Answer 1

Sí, hay que añadir $0$ .

Estudiar las variaciones de $f$ para convencerte a ti mismo. No es creciente en $[0,x]$ y no decreciente en $[x,+\infty)$ .

Así que $f(x)$ es en realidad un mínimo global.

Y como $\lim_{+\infty}f(x)=+\infty$ , $f(0)$ es un máximo local (no global).

Cuidado, no todos los puntos críticos son extremos locales. Se necesita la prueba de la primera derivada o de la segunda derivada, por ejemplo, para concluir. Por eso, de todos modos, lo mejor es estudiar a fondo las variaciones de la función en su dominio determinando el signo de su derivada, cuando está disponible como aquí.