Solución de una ecuación diferencial especial

Question

Me pregunto si se puede resolver la siguiente ecuación diferencial.

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^2}+ \frac{\partial^{2}f}{\partial y^2}+ \frac{\partial^{2}f}{\partial z^2}+ \alpha \frac{\partial f}{\partial t} = g,$$

donde $f= f(x,y,z,t)$ , $\alpha$ es una constante y $g=g(x,y,z,t)$ es una función continua dada. Esta ecuación es similar a la ecuación del calor excepto por la función $g$ .

¿Existe alguna solución analítica para este tipo de ecuación? Si no, ¿cuál es el método numérico apropiado para resolverla?

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

La ecuación se denomina ecuación del calor no homogénea.

Si se puede obtener una solución analítica, y cómo, depende del dominio $(x,y,z)\in\Omega$ las condiciones de contorno los datos iniciales y $g$ . Cabe destacar especialmente los siguientes casos

$\Omega=\mathbb{R}^3$ : Utiliza la transformada de Fourier en el dominio del espacio.

$\Omega$ es un cubo: Utilizar un ansatz de separación para el dominio espacial que (para unas condiciones de contorno adecuadas) da como resultado una suma sobre las funciones seno y coseno.

Además, es posible resolver a través de la solución fundamental, pero dependiendo del dominio podría ser difícil de lograr.

Espero que eso ayude.