¿Qué significa que una función $f$ tiene un subíndice que es un conjunto de indexación $A$ ? Así es, $f_A$ .

Question

Estoy leyendo Introducción a la Topología de Mendelson.

Tengo problemas para entender cierta notación que utiliza para un problema concreto. Para ponerlo en contexto, este es el problema en cuestión

Dejemos que $\{X_\alpha\}_{\alpha\in A}$ sea una familia indexada de espacios topológicos y el conjunto $X=\prod_{\alpha\in A} X_\alpha.$ Para cada $\alpha\in A$ dejar $f_\alpha:I\to X_\alpha$ sea un camino en $X_\alpha$ . Establecer $(f_A(t))(\alpha)=f_\alpha(t)$ para que $f_A:I\to X$ . Demostrar que $f_A$ es un camino en $X$ .

Todavía no necesito ayuda con este problema, porque ni siquiera lo he intentado. Busqué en el libro ese tipo de notación, pero no tuve éxito. ¿Podría alguien indicar cuál es la definición de $f_A$ es? ¿Es específico de este problema o un tipo de notación general?

Answer 1

La definición de $f_A$ está bien en el texto que has citado:

Set $(f_A(t))(\alpha)=f_\alpha(t)$ para que $f_A: I\to X$ .

Answer 2

Lo que Mendelson está haciendo aquí es esto: $\{f_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es una colección de funciones, una para cada $\alpha \in A$ . Podemos arreglar $\alpha$ y varían $t$ que es mirar cada función individualmente. O podemos arreglar $t_0$ y varían $\alpha$ , dándonos un valor diferente $f_\alpha(t_0)$ para cada $\alpha \in A$ . Para cada $t\in I$ obtenemos un montón de valores (de hecho obtenemos $|A|$ de ellos), cada uno viviendo en su propio espacio $X_\alpha$ . Otra forma de decir esto es que para cada $t \in I$ obtenemos un elemento sur $\prod_{\alpha \in A}X_\alpha = X$ (ya que un elemento en $\prod_{\alpha \in A}X_\alpha$ es un conjunto de valores, cada uno de los cuales vive en su propio espacio $X_\alpha$ ). Así que $f_A:I \to X$ es una función que toma cada $t$ a un conjunto de valores, uno por cada $\alpha \in A$ .