Para todos los verdaderos $\theta$ demostrar que $ \cos(\sin\theta) \gt \sin(\cos\theta)$

Question

¿Cómo puedo demostrarlo? No soy capaz de siquiera empezar. Ayuda por favor!

Answer 1

Intente graficar ambas funciones.

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Además, esta respuesta puede ayudar a:

$$ \begin{align} &\cos (\sin x) - \sin (\cos x) > 0\\ \implies &\cos (\sin x) - \cos ( π/2 - \cos x ) > 0\\ \implies &2 \sin \left[ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) \right]\cdot \sin \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) \right] > 0 \tag{1} \end{align} $$ Si pudiéramos demostrar que tanto los factores en el lado izquierdo de $(1)$ son positivos, entonces el resultado obtenido anteriormente $(1)$ está probado. Desde: $$\left| \sin x - \cos x \right| = \left| √2 \sin (x- \frac{\pi}{4}) \right| ≤ √2 < \frac{\pi}{2} $$ Tenemos, $$- \frac{\pi}{2} < ( \sin x - \cos x ) < \frac{\pi}{2}\\ \implica - \frac{\pi}{4} < ( \sin x - \cos x )/2 < \frac{\pi}{4} $$ Así que, $$0 < \frac{\pi}{4}+ \frac{1}{2}( \sin x - \cos x ) < \frac{\pi}{2}$$ $\therefore \space \sin [ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} (\sin x - \cos x) ] > 0 \quad\text{(ie, Positive)}$
Del mismo modo, podemos demostrar que $\sin [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) ] > 0$
Por lo tanto $(1)$ es cierto. QED

Referencia: Yahoo Respuestas

Answer 2

La deseada estimación sostiene en $\theta=0$ y hemos \begin{eqnarray} \cos(\sin\theta)-\sin(\cos\theta) &=& \cos(\sin\theta)-\cos\left(\frac\pi2-\cos\theta\right) \\&=& 2\sin\left(\frac12\left(\frac\pi2-\cos\theta-\sin\theta\right)\right)\sin\left(\frac12\left(\frac\pi2-\cos\theta+\sin\theta\right)\right) \end{eqnarray} por lo que es suficiente para mostrar que $\frac\pi2-\cos\theta\pm\sin\theta\neq0$ todos los $\theta$ para ambos signos.

Deje $f_\pm(x)=\frac\pi2-\cos x\pm\sin x$. Ahora $f'_\pm(x)=\sin x\pm\cos x$, por lo que en extremal puntos de $f_\pm$ tenemos $\sin x=\mp\cos x$. Esta ecuación puede resolverse, y los valores correspondientes a dar el mínimo valor de $\frac\pi2-\sqrt2>0$ para ambas funciones. Desde $f_\pm(0)>0$, $f_\pm(x)>0$ todos los $x$.

Answer 3

Deje $\theta$ estar en el primer o cuarto cuadrante y $\sin\theta=t$, por lo que el $\cos\theta=\sqrt{1-t^2}$.

Ahora en el rango de $-1\le t\le1$ la desigualdad se reescribe como $$\cos t\gt\sin\sqrt{1-t^2}.$$ Tomando el $arcsin$, $$\frac\pi2-t>\sqrt{1-t^2},$$o $$(\frac\pi2-t)^2>1-t^2.$$ El discriminante valor demuestra que las dos parábolas no se intersecan.

En el segundo y tercer cuadrantes, la desigualdad trivialmente sostiene porque de signos.

Answer 4

La desigualdad de $\cos(\sin\theta)\gt\sin(\cos\theta)$ todos los $\theta$ realmente se reduce a la desigualdad $x\gt\sin x$ $x\gt0$ y el hecho de que $\cos x$ es decreciente en el intervalo de $0\le x\le\pi$. Voy a tomar los ya conocidos. (Son lo suficientemente fácil para probar.)

Vamos a empezar por la observación de que sólo tenemos que verificar la desigualdad $\cos(\sin\theta)\gt\sin(\cos\theta)$$0\lt\theta\lt\pi/2$:

Por la periodicidad de seno y coseno, que es suficiente para demostrar la desigualdad de la $-\pi\le\theta\le\pi$. Desde el coseno es una función par (y el seno es impar), basta probar que para $0\le\theta\le\pi$. La desigualdad es claramente satisfecho desde $\pi/2\lt\theta\le\pi$, $\sin(\cos\theta)$ es negativo, mientras que en $\cos(\sin\theta)$ es positivo. Por último, es fácilmente controlado por $\theta=0$$\pi/2$. De modo que las hojas $0\lt\theta\lt\pi/2$

Desde ahora, estamos en un inteval donde $\cos\theta\gt0$, podemos dejar que la $x=\cos\theta$ y consigue $\cos\theta\gt\sin(\cos\theta)$. Pero también tenemos $\pi\gt\theta\gt\sin\theta\gt0$ en este intervalo, el cual, por el hecho de que la función coseno en la disminución de allí, nos da $\cos(\sin\theta)\gt\cos\theta$. Poniendo todo junto da la deseada desigualdad.

Answer 5

$\cos(\sin\theta)=\sin(\cos\theta))=\cos(\pi/2-\cos\theta)$ implica $0=\cos(\sin\theta)-\cos(\pi/2-\cos\theta)=-2\sin(\frac{\sin\theta+\pi/2-\cos\theta}{2})\sin(\frac{\sin\theta-\pi/2+\cos\theta}{2})$.

Así que esto sólo puede suceder si $\sin(\frac{\sin\theta\pm(\pi/2-\cos\theta)}{2})=0$, y el segundo sólo puede suceder si $\sin\theta\pm(\pi/2-\cos\theta)=0$. A la regla de que el último out, investigar los mínimos y los máximos de $f(t):=\sin t+\cos t$ (resp. $f(t)=\sin t-\cos t$); son alcanzados por $f'(t)=0=\cos t\pm\sin t$, y por lo $|f(t)|\leq\frac{\sqrt{2}}{2}<0.7072$. Así que usted nunca tiene $\sin\theta\pm(\pi/2-\cos\theta)=0$. Por lo tanto, el 1 de igualdad que nunca sucede. Basta ahora para comprobar la reclamación de la desigualdad de la $\theta=0$, lo que es trivial. QED.