Dejemos que $S(x) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{2 \pi i n x}$ sea un polinomio trigonométrico de longitud $N$ . La desigualdad analítica/armónica de la criba grande en su forma más aguda establece que
$$ \sum_{r=1}^R |S(x_r)|^2 \leq (N + \delta^{-1}-1) \int_{0}^{1} |S(x)|^2 dx$$
donde $x_1,x_2,\ldots,x_R$ son $\delta$ puntos separados. Esto puede considerarse como una discretización de la identidad de Parseval en el círculo.
En muchas de las aplicaciones de esta desigualdad a la teoría de números se toma $\delta = 1/N$ en cuyo caso el lado derecho de la desigualdad tiene un factor $2N$ .
El factor de $2$ aquí conduce a algunas ineficiencias muy desafortunadas en las aplicaciones de la teoría del tamiz, como la $2$ en la desigualdad Brun-Titchmarsh. Parece que la mejora del factor de $2$ en estas aplicaciones está relacionado tanto con el problema de la paridad en la teoría de los tamices como con el problema del cero de Siegel. Véase, por ejemplo, este documento de Maynard.
Sin embargo, es fácil ver en algunos casos, como cuando $x_1,x_2, \ldots, x_R$ están igualmente espaciados (utilizando el análisis de Fourier en el grupo de residuos mod $N$ ), que la desigualdad se cumple efectivamente con una constante $1$ en lugar de la constante $2$ .
¿Hay ejemplos de polinomios trigonométricos y $\delta = 1/N$ puntos separados conocidos en los que se requiere que la constante de la desigualdad analítica del gran tamiz sea mayor que $1$ ?
