Demuestre que si la suma de $n$ números reales positivos $x_1 + x_2 + ... + x_n \le 0.5$ entonces $(1-x_1)(1-x_2)*...*(1-x_n) \ge 0.5$ .

Question

Así, sé que esto podría escribirse como $x_1 + x_2 + ... + x_n \le 0.5 \le (1-x_1)(1-x_2)*...*(1-x_n)$ .

Y que el mayor $x_1 + x_2 + ... + x_n$ es, cuanto más pequeño $(1-x_1)(1-x_2)*...*(1-x_n)$ es.

Por lo tanto, podríamos suponer que en el peor de los casos $x_1 + x_2 + ... + x_n = 0.5$ donde una de las x es cercana a 0,5, y el resto son cercanas a 0, y entonces $(1-x_1)(1-x_2)*...*(1-x_n) = 0.5$ .

Pero eso no es una prueba adecuada.

Answer 1

Una pista:

Utilice La desigualdad de Bernoulli :

Si $h_1, h_2,\dots, h_n>-1$ y todos tienen el mismo signo, entonces $$(1+h_1)(1+h_2)\dotsm (1+h_n)\ge 1+h_1+h_2+\dots+h_n.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que para $0<a,b$ entonces $$(1-a)(1-b)=1-a-b+ab>1-(a+b) $$ Por lo tanto, como todos los factores son positivos, $$ (1-x_1)\cdots(1-x_{n-1})(1-x_n)>(1-x_1)\cdots(1-x_{n-2})(1-(x_{n-1}+x_n))$$ y por inducción $$ (1-x_1)\cdots(1-x_{n-1})(1-x_n)>1-(x_x+\ldots +x_n))$$

Answer 3

Dejemos que $f(x)=\ln(1-x)$ y $x_1\leq x_2\leq...\leq x_n$ .

Por lo tanto, es obvio que $f$ es una función cóncava.

Así, por Karamata $\sum\limits_{i=1}^n\ln(1-x_i)\geq(n-1)f(0)+f\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)\geq\ln\frac{1}{2}$

¡y hemos terminado!