¿Es el límite y la norma intercambiables en los espacios de Banach?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach, y $\{x_n \}\subset X$ . ¿Sostiene entonces que $\lim \|y-x_n\|=\|y-\lim x_n \| $ ?

Answer 1

Primero recordemos lo que significa decir $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = x$ en un espacio de Banach. Significa $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0$ . El primer límite es un límite de una secuencia de miembros del espacio de Banach; el segundo es un límite de una secuencia de números no negativos.

Tenga en cuenta que $\|A\|=\|(A-B)+B\|\le \|A-B\|+\|B\|$ para que $$\|A\|-\|B\|\le\|A-B\|,$$ y de la misma manera mostrar que $$\|B\|-\|A\|\le\|A-B\|,$$ por lo que tenemos $$ |\, \|A\|-\|B\| \,|\le \|A-B\|. $$ Por lo tanto, $$ |\,\|y-x_n\|-\|y-x\|\,| \le \|(y-x_n)-(y-x)\| = \|x_n-x\| \tag 1 $$ En consecuencia, si el término más a la derecha de $(1)$ va a $0$ entonces también lo hace el término de la izquierda.