Cómo describir el anillo $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ como anillo cociente de $\mathbb{C}[X,Y]$ ?

Question

Aquí, $\sin{x}$ y $\cos{x}$ son funciones reales $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

En primer lugar, permítanme explicar lo que quiero decir con "como un anillo de cociente". Se puede demostrar fácilmente que $$ \mathbb{R}[\cos{x},\sin{x}] \cong \mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2-1). $$

Aquí $\mathbb{R}[\cos{x},\sin{x}]$ es un anillo cociente de $\mathbb{R}[X,Y]$ . Así que cuando el campo se cambia a $\mathbb{C}$ inmediatamente pienso en el anillo $$ \mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1). $$

Como la gente ha señalado, mi argumento citado a continuación es cuestionable, así que lo rehago en la actualización 2. Este párrafo se deja aquí sólo para que conste. Lo elaboré en la actualización 3.

Sin embargo, $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ no es un UFD ( $\sin^2{x}=(1+\cos{x})(1-\cos{x})$ ), pero $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1) \cong \mathbb{C}[T,T^{-1}]$ es un UFD. Por lo tanto, $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ sólo puede ser un anillo cociente de subring propio de $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ . Aquí falta una restricción adicional. ¿Hay alguna forma de encontrarla? Creo que hay algo derivado del hecho de que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado.

Actualización 1: No es muy obvio que $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ es un PID y por lo tanto UFD, pero se pueden encontrar pruebas en este post de preguntas: Anillo de funciones trigonométricas con coeficientes reales

Actualización 2: Parece que mi argumento sobre ser UFD está un poco desordenado, así que lo reharé. En primer lugar, $R=\mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ no es un UFD (se puede demostrar que su grupo de clase ideal es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ) y $S=\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1) \cong \mathbb{C}[T,T^{-1}]$ es un UFD (véase el enlace en la actualización 1). Ampliar el escalar aquí no es una cuestión trivial, por lo que la relación entre $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ y $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ no es probable que sea tan inmediata como en el caso del escalar real.

Actualización 3: En el ring $\mathbb{R}[\cos{x},\sin{x}]$ los elementos irreducibles son de la forma $a\sin{x}+b\cos{x}+c$ donde $a^2+b^2 \ne 0$ Mientras tanto, en el ring $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ los elementos irreducibles son de la forma $\cos{x}+i\sin{x}+a$ donde $a \in \mathbb{C}^\ast$ . Los encontré en este libro (sección: Los anillos polinómicos trigonométricos). Por lo tanto, $\sin{x}$ , $1-\cos{x}$ y $1+\cos{x}$ son irreducibles en $\mathbb{R}[\cos{x},\sin{x}]$ pero no irreducible en $\mathbb{C}[\cos{x},\sin{x}]$ . Este es el origen de mi error. Según los comentarios que ha recibido esta pregunta, este cambio no es fácil de detectar. Así que creo que lo dejaré aquí porque puede servir de contraejemplo sobre la irreductibilidad.

Answer 1

En primer lugar, $\mathbb{C}[\sin,\cos]$ ciertamente no puede sea un subringio propio de $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ (con $X$ correspondiente a $\cos$ y $Y$ correspondiente a $\sin$ ). Como $\mathbb{C}$ -Álgebra, $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ es generado por $X$ y $Y$ por lo que no hay ningún tipo de $\mathbb{C}$ -subálgebra que contiene tanto $X$ y $Y$ . A priori, $\mathbb{C}[\sin,\cos]$ podría ser un verdadero cociente de $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ ya que podría haber más relaciones entre $\sin$ y $\cos$ que no son generados por la relación única $X^2+Y^2-1$ . Sin embargo, este no es el caso (y la prueba es básicamente la misma que la prueba sobre $\mathbb{R}$ que dices conocer), así que $\mathbb{C}[\sin,\cos]$ es realmente isomorfo a $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$ .

¿Qué ocurre entonces? Bueno, la ecuación $\sin^2=(1+\cos)(1-\cos)$ simplemente no implica que el anillo no sea un UFD. Después de todo, $6^2=4\cdot 9$ pero $\mathbb{Z}$ sigue siendo un UFD. Para concluir que tiene un fallo de factorización única, necesitaría saber algo más sobre los factores $\sin,1-\cos,$ y $1+\cos$ como que son irreductibles y no se asocian entre sí.

De hecho, ninguno de estos factores es irreducible. Para ver esto, usemos el isomorfismo $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2+Y^2-1)\cong\mathbb{C}[T,T^{-1}]$ que viene dada por el mapeo $T$ a $X+iY$ (y $T^{-1}$ a $X-iY$ ). Así que en términos de $T$ , $\sin$ (o $Y$ ) sería $\frac{T-T^{-1}}{2i}=\frac{T^2-1}{2iT}$ . Esto no es irreductible, porque $\frac{1}{2iT}$ es una unidad (por lo que se puede ignorar) y $T^2-1$ factores como $(T+1)(T-1)$ (y ningún factor es una unidad). Del mismo modo, $1\pm\cos$ se convierte en $1\pm\frac{T+T^{-1}}{2}=\pm\frac{T^2\pm 2T+1}{2T}$ y los factores del numerador como $(T\pm 1)^2$ . Así que hasta las unidades, $\sin$ es $(T+1)(T-1)$ y $1+\cos$ y $1-\cos$ son $(T+1)^2$ y $(T-1)^2$ por lo que la factorización $\sin^2=(1+\cos)(1-\cos)$ es igual que la factorización $6^2=4\cdot 9$ de números enteros (con $T+1$ correspondiente a $2$ y $T-1$ correspondiente a $3$ ).