Deja $\zeta=e^{2\pi i/n}$ Probar que $x^n -1 =(x-1)(x-\zeta)(x-\zeta^2) \dots (x-\zeta^{n-1})$

Question

Esta es una pregunta sobre polinomios ciclotómicos y ya he demostrado que $x^n-1 =\Pi\Phi_d(x)$, tomando el producto sobre todos los divisores d de n.

Answer 1

Cada uno de $\zeta^j$ para $j=0, \dots, n-1$ es una raíz de $X^n -1$. Así que $(X-\zeta^j)$ debe dividirlo. Dado que todos los $\zeta^j$ son distintos, los factores lineales son coprimos y por lo tanto el producto también divide a $X^n - 1$.

Dado que el grado de ambos es $n$ y ambos están normalizados, se sigue la igualdad.

Answer 2

Consejos:

1) Demuestra que para $\;1\le j,\,k\le n\;,\;\;\zeta^j=\zeta^k\iff j=k\;$

2) Demuestra que $\;\left(\zeta^k\right)^n=1\;,\;\;\forall\,k=1,2,...,n\;$

3) Demuestra que todas las raíces de $\;x^n-1\;$ son diferentes

Ahí tienes...